Sommes géométriques · Binôme de Newton · Dérivation et intégration de polynômes · Convolution discrète · Fonctions hyperboliques · Interversion de sommes finies.
L'objectif est de démontrer la formule suivante :
\[\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.\]Pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\) : \(\dfrac{1-(1-x)^n}{x} = \displaystyle\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(f'(x) = -\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p\).
\(f\) est un polynôme ; on dérive terme à terme :
\[f'(x) = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-1)^k x^{k-1}.\]Le binôme de Newton donne \((1-x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k x^k\), d'où :
\[1-(1-x)^n = -\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-1)^k x^k.\]Pour \(x \neq 0\), on divise par \(x\) et on applique Q.1 :
\[-\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p = \frac{(1-x)^n-1}{x} = -\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-1)^k x^{k-1} = f'(x).\]En \(x = 0\) : le terme constant de \(f'\) vaut \(\binom{n}{1}(-1)^1 = -n\), et \(-\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1}1 = -n\). L'égalité vaut sur \(\mathbb{R}\) entier.
□On intègre \(f'\) entre \(0\) et \(1\). Par le théorème fondamental :
\[f(1)-f(0) = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k}.\]D'autre part, en intégrant \(f'(x) = -\displaystyle\sum_{p=0}^{n-1}(1-x)^p\) terme à terme :
\[\int_0^1 f'(x)\,dx = -\sum_{p=0}^{n-1}\int_0^1(1-x)^p\,dx = -\sum_{p=0}^{n-1}\frac{1}{p+1} = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.\]En égalisant et en multipliant par \(-1\), on obtient l'identité annoncée.
□Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \((a_k)_{k \in \{0,\ldots,n\}} \in \mathbb{R}^{n+1}\) et \((b_k)_{k \in \{0,\ldots,n\}} \in \mathbb{R}^{n+1}\), on pose :
\[S_n = \sum_{k=0}^n a_k\, b_{n-k}.\]Dans toute somme de type \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\), le changement d'indice \(j = n-k\) échange les rôles de \(a\) et \(b\) :
\[S_n = \sum_{j=0}^n a_{n-j}\, b_j.\]Quand utiliser ce réflexe ? Quand \(b_k\) est une suite simple (puissance, polynôme) et \(a_k\) est plus complexe — ou l'inverse. Le changement d'indice place la suite simple en position \(j\) et transforme la suite composée \(a_{n-j}\) en quelque chose de plus maniable. En pratique :
Comme \(a \neq b\), on a \(a/b \neq 1\), donc :
On développe \(aS_n\) et \(bS_n\) séparément :
\[aS_n = a^1b^n + a^2b^{n-1} + \cdots + a^{n+1}b^0\] \[bS_n = a^0b^{n+1} + a^1b^n + \cdots + a^nb^1\]En soustrayant terme à terme, tout s'annule sauf les extrêmes :
\[(a-b)S_n = a^{n+1} - b^{n+1},\]d'où \(S_n = \dfrac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\) sans passer par la somme géométrique de raison \(a/b\). C'est exactement la même idée que la démonstration de \(\displaystyle\sum_{k=0}^n u^k = \frac{1-u^{n+1}}{1-u}\) par multiplication par \((1-u)\).
par le binôme de Newton.
Lorsque \(a_k = \binom{n}{k}\), chercher \(\alpha, \beta\) tels que \(b_{n-k} = \alpha^k \beta^{n-k}\). Alors \(S_n = (\alpha+\beta)^n\). Ici \(\alpha = 1\), \(\beta = 2\).
Changement d'indice \(j = n-k\) :
\[S_n = \sum_{j=0}^n (n-j+1)\,j^2 = (n+1)\sum_{j=0}^n j^2 - \sum_{j=0}^n j^3 = (n+1)\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}.\]En factorisant \(\dfrac{n(n+1)^2}{12}\) :
Avec \(A = kx\), \(B = (n-k)x\) :
En sommant sur \(k \in \{0,\ldots,n\}\) :
\[S_n = \frac{(n+1)\cosh(nx)}{2} + \frac{1}{2}\underbrace{\sum_{k=0}^n \cosh((2k-n)x)}_{\Sigma}.\]Il reste à calculer \(\Sigma\). On développe \(\cosh\) en exponentielles :
\[\Sigma = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n \bigl(e^{(2k-n)x} + e^{-(2k-n)x}\bigr) = \frac{1}{2}\left(e^{-nx}\sum_{k=0}^n e^{2kx} + e^{nx}\sum_{k=0}^n e^{-2kx}\right).\]Les deux sommes intérieures sont géométriques de raisons \(e^{2x}\) et \(e^{-2x}\), toutes deux différentes de 1 car \(x \neq 0\) :
\[\sum_{k=0}^n e^{2kx} = \frac{e^{2(n+1)x}-1}{e^{2x}-1}, \qquad \sum_{k=0}^n e^{-2kx} = \frac{e^{-2(n+1)x}-1}{e^{-2x}-1}.\]On substitue :
\[\Sigma = \frac{1}{2}\left(e^{-nx}\cdot\frac{e^{2(n+1)x}-1}{e^{2x}-1} + e^{nx}\cdot\frac{e^{-2(n+1)x}-1}{e^{-2x}-1}\right).\]Pour tout réel \(\alpha\), on factorise \(e^\alpha\) :
\[e^{2\alpha}-1 = e^\alpha\bigl(e^\alpha - e^{-\alpha}\bigr).\]Appliqué ici avec \(\alpha = (n+1)x\) au numérateur et \(\alpha = x\) au dénominateur :
\[\frac{e^{2(n+1)x}-1}{e^{2x}-1} = \frac{e^{(n+1)x}\bigl(e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}\bigr)}{e^x\bigl(e^x-e^{-x}\bigr)}.\]De même pour l'autre fraction. On multiplie par \(\tfrac{-e^{2x}}{-e^{2x}}\) pour ramener au même motif :
\[\frac{e^{-2(n+1)x}-1}{e^{-2x}-1} = \frac{e^{-(n+1)x}\bigl(e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}\bigr)}{e^{-x}\bigl(e^x-e^{-x}\bigr)}.\]On substitue les deux factorisations dans \(\Sigma\) :
\[\Sigma = \frac{1}{2}\left( e^{-nx}\cdot\frac{e^{(n+1)x}\bigl(e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}\bigr)}{e^x\bigl(e^x-e^{-x}\bigr)} + e^{nx}\cdot\frac{e^{-(n+1)x}\bigl(e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}\bigr)}{e^{-x}\bigl(e^x-e^{-x}\bigr)} \right).\]On simplifie les exposants dans chaque terme :
Le facteur \(\bigl(e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}\bigr)/\bigl(e^x-e^{-x}\bigr)\) est commun, et les deux termes valent chacun 1, donc :
\[\Sigma = \frac{1}{2}\cdot(1+1)\cdot\frac{e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}}{e^x-e^{-x}} = \frac{e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}}{e^x-e^{-x}} = \frac{\sinh((n+1)x)}{\sinh(x)}.\]\(S_0 = \cosh(0)^2 = 1\). La formule donne \(\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sinh(x)}{2\sinh(x)} = 1\).
Domaine : \(\{(k,i):0\leq k\leq i\leq n\}\). On intervertit — on fixe \(i\), \(k\) varie de \(0\) à \(i\) :
\[S_n = \sum_{i=0}^n \frac{1}{i+1}\cdot(i+1) = \sum_{i=0}^n 1.\]Avec \(A_k = \displaystyle\sum_{j=0}^k a_j\) :
\[\sum_{k=0}^n a_k b_k = A_n b_n - \sum_{k=0}^{n-1} A_k(b_{k+1}-b_k).\]Analogue discret de l'intégration par parties. Les deux suites sont évaluées au même indice \(k\). Usage : convergence de \(\sum a_k b_k\) quand \((b_k)\) est monotone.
L'indice de \(b\) est \(n-k\), pas \(k\) : c'est la différence structurelle avec la somme d'Abel.
Dans \(S_n = \sum a_k b_{n-k}\), l'indice de \(b\) dépend à la fois de \(n\) et de \(k\). La convolution est un produit de polynômes ; la somme d'Abel est un outil de convergence. Deux structures fondamentalement différentes.
Le produit de convolution est le produit de Cauchy : si \(A(x)=\sum a_n x^n\) et \(B(x)=\sum b_n x^n\), alors \(A(x)\cdot B(x)=\sum c_n x^n\) avec \(c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\). Cette structure réapparaît dans les séries entières et les équations différentielles.