Coefficients binomiaux et binôme de Newton

INDEX

Résultat	Référence
Définition — \(\binom{n}{k}\)	→ I.1
Symétrie : \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)	→ I.2
Formule du capitaine : \(\binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\)	→ I.2
Formule de Pascal : \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\)	→ I.2
Triangle de Pascal	→ I.3
Binôme de Newton : \((a+b)^n = \sum \binom{n}{k}a^{n-k}b^k\)	→ II.1
\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n\)	→ II.2
\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0\)	→ II.2
\(\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k} = n\cdot2^{n-1}\)	→ II.2

I.1 Définition

Définition — Coefficient binomial \(\binom{n}{k}\)

Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(k \in \mathbb{Z}\). On appelle coefficient binomial \(k\) parmi \(n\), noté \(\dbinom{n}{k}\), le nombre :

\[\binom{n}{k} = \begin{cases} \dfrac{n!}{k!(n-k)!} & \text{si } 0 \leq k \leq n \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]

On lit \(\binom{n}{k}\) : "\(k\) parmi \(n\)".

Interprétation combinatoire : \(\binom{n}{k}\) est le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\) objets distincts, sans tenir compte de l'ordre.

Formule de calcul sans factorielles

On peut simplifier \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) pour éviter de calculer de grands factorielles :

\[\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\]

Le numérateur et le dénominateur contiennent chacun exactement \(k\) facteurs.

Exemple : \(\dbinom{11}{4} = \dfrac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1} = \dfrac{7920}{24} = 330\)

Valeurs remarquables

\(\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1\)
\(\dbinom{n}{1} = \dbinom{n}{n-1} = n\)
\(\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\)

\(\binom{n}{k}\) est toujours un entier naturel — ce n'est pas évident a priori car la définition fait intervenir une division. La formule de Pascal (section I.2) le prouve par récurrence.

I.2 Propriétés fondamentales

Propriété 1 — Symétrie

\[\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\]

Choisir \(k\) objets à inclure parmi \(n\) revient à choisir \(n-k\) objets à exclure — même choix.

Propriété 2 — Formule du capitaine

Pour \(1 \leq k \leq n\) :

\[\binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\]

Interprétation : on choisit d'abord le "capitaine" parmi les \(n\) membres (\(n\) façons), puis les \(k-1\) autres membres parmi les \(n-1\) restants (\(\binom{n-1}{k-1}\) façons). Comme chaque groupe de \(k\) personnes a exactement \(k\) capitaines possibles, on divise par \(k\).

C'est cette formule qui permet de montrer que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k} = n\cdot2^{n-1}\) — voir II.2.

Propriété 3 — Formule de Pascal

\[\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\]

Preuve : développer les factorielles et regrouper. Cette formule permet de construire le triangle de Pascal ligne par ligne.

I.3 Triangle de Pascal

La formule de Pascal permet de calculer les \(\binom{n}{k}\) de proche en proche. Chaque terme est la somme des deux termes qui le surplombent :

Propriétés visibles dans le triangle

Chaque ligne commence et finit par 1
Chaque ligne est symétrique
La somme des éléments de la ligne \(n\) est \(2^n\)
Chaque terme est la somme des deux au-dessus — c'est la formule de Pascal

II.1 Formule du binôme

Théorème — Formule du binôme de Newton

Pour tous \(a, b\) et tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\]

Dans chaque terme, la somme des exposants vaut \(n\) : \((n-k)+k = n\).

Pourquoi ces coefficients ? Développer \((a+b)^n = (a+b)(a+b)\cdots(a+b)\) revient à choisir, dans chacun des \(n\) facteurs, soit \(a\) soit \(b\). Le coefficient de \(a^{n-k}b^k\) est le nombre de façons de choisir \(k\) fois \(b\) parmi \(n\) facteurs — c'est exactement \(\binom{n}{k}\).

Exemples — Cas particuliers connus

\(n=2\) : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\(n=3\) : \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a-b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\)

II.2 Conséquences classiques

Somme des coefficients binomiaux

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n\]

Preuve : poser \(a = b = 1\) dans le binôme de Newton.

Somme alternée des coefficients binomiaux

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0\]

Preuve : poser \(a = 1\), \(b = -1\) dans le binôme de Newton.

Somme pondérée — \(\sum k\binom{n}{k}\)

\[\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k} = n\cdot2^{n-1}\]

Preuve : utiliser la formule du capitaine \(k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}\), puis changer d'indice. Voir la démonstration complète dans l'exercice 21 de Techniques — Sommes et produits.

Complément — Identité de Vandermonde

\[\sum_{k=0}^{r}\binom{m}{k}\binom{n}{r-k} = \binom{m+n}{r}\]

Prérequis : changement d'indice (pattern retournement). Voir Techniques — Sommes et produits, I.4.

Exercices

Exercice 1 — Valeurs et simplifications ★☆☆

Calculer \(\dbinom{10}{3}\), \(\dbinom{7}{5}\), \(\dbinom{100}{98}\).
Simplifier \(\dfrac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k-1}}\).
Montrer que \(\dbinom{n}{p}\dbinom{p}{k} = \dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{p-k}\) pour \(0 \leq k \leq p \leq n\).

Exercice 2 — Triangle de Pascal ★☆☆

Développer \((2x+3)^5\) à l'aide du triangle de Pascal.

Exercice 3 — Binôme de Newton ★★☆

Développer \((x-y)^3\), \((1+x\sqrt{2})^4\), \((2-x)^5\).
Quel est le coefficient de \(x^{24}\) dans \((\sqrt{2}-10x^3)^{10}\) ?
Utiliser le binôme de Newton pour montrer que \(10^{15} = 10510100501 + \cdots\) (développer \((10+1)^{10} - \cdots\)).

Exercice 4 — Coefficient maximal ★★☆

Montrer que la suite \(b_k = \dbinom{2020}{k}\) pour \(k \in \{0,\ldots,2020\}\) est d'abord croissante puis décroissante. En déduire la valeur maximale.

Indication : calculer le quotient \(b_{k+1}/b_k\).

Exercice 5 — Identité combinatoire ★★★

Montrer que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{k} = n(n+1)2^{n-2}\).

Indication : écrire \(k^2 = k(k-1) + k\) et utiliser la formule du capitaine deux fois.