Puissances & racines n-ièmes

🔴 Idée directrice

Un seul objet se cache derrière quatre écritures : produit répété, inverse, radical, exponentielle. La progression du chapitre consiste à étendre pas à pas le domaine des exposants — \(\mathbb{N}\), puis \(\mathbb{Z}\), puis \(\mathbb{Q}\), puis \(\mathbb{R}\) — en exigeant à chaque étape que les cinq lois de calcul restent vraies. C'est cette contrainte de cohérence, et rien d'autre, qui force les définitions \(a^{0}=1\), \(a^{-n}=1/a^{n}\), \(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\), \(a^{x}=e^{x\ln a}\).

I — Puissances à exposant entier naturel

I.1 Définition

Définition 1 — Puissance n-ième

Soit \(a \in \mathbb{R}\) (la base) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\) (l'exposant). La puissance n-ième de \(a\) est le réel

\[a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}.\]

On complète par les conventions \(a^{1}=a\) et \(a^{0}=1\) (pour \(a\neq 0\)).

Cette écriture récursive est la base de toutes les démonstrations qui suivent.

Pourquoi \(a^{0}=1\) ? Ce n'est pas un caprice de notation : c'est la seule valeur qui rende la règle \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) encore vraie en \(n=0\). En effet \(a^{m}\cdot a^{0}=a^{m}\) impose \(a^{0}=1\). De même, en descendant \(a^{3},a^{2},a^{1}\) on divise par \(a\) à chaque cran : le cran suivant est forcément \(a^{1}/a = 1\).

Le cas \(0^{0}\). Il n'a pas de valeur universelle. En algèbre et en combinatoire on pose \(0^{0}=1\) (pour que \(\sum a_k x^k\) ait un sens en \(x=0\)). En analyse, \(0^{0}\) est une forme indéterminée : la limite de \(f(x)^{g(x)}\) quand \(f,g\to 0\) dépend du chemin suivi. On précise donc toujours le contexte.

I.2 Vocabulaire et signe

Écriture	Lecture
\(a^{2}\)	« \(a\) au carré »
\(a^{3}\)	« \(a\) au cube »
\(a^{n}\ (n\geq 4)\)	« \(a\) (à la) puissance \(n\) »

Proposition 1 — Règle des signesdémontré

Pour \(a \in \mathbb{R}^{*}\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\) :

si \(a > 0\), alors \(a^{n} > 0\) quel que soit \(n\) ;
si \(a < 0\), alors \(a^{n} > 0\) lorsque \(n\) est pair, et \(a^{n} < 0\) lorsque \(n\) est impair.

En particulier \((-1)^{n}=1\) si \(n\) pair, \(-1\) si \(n\) impair.

Preuve. Un produit de \(n\) facteurs strictement positifs est positif (récurrence immédiate). Si \(a<0\), écrire \(a^{n}=(-1)^{n}|a|^{n}\) : le signe est celui de \((-1)^{n}\), qui vaut \(+1\) pour \(n\) pair et \(-1\) pour \(n\) impair. ∎

II — Les cinq lois des exposants

Ces règles sont le cœur du calcul. Établies ici pour \(m,n\in\mathbb{N}\), elles seront étendues aux entiers relatifs, aux rationnels puis aux réels dans les sections suivantes — toujours au nom de la même cohérence.

Théorème 1 — Lois fondamentalesdémontré

Pour \(a,b \in \mathbb{R}^{*}\) et \(m,n \in \mathbb{N}\) :

\[ \begin{array}{ll} a^{m}\,a^{n}=a^{m+n} & \text{(produit, même base)}\\[4pt] \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} & \text{(quotient, même base)}\\[4pt] \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn} & \text{(puissance d'une puissance)}\\[4pt] (a\,b)^{n}=a^{n}\,b^{n} & \text{(puissance d'un produit)}\\[4pt] \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}} & \text{(puissance d'un quotient)} \end{array} \]

Preuve du produit (récurrence sur \(n\), à \(m\) fixé). Pour \(n=0\) : \(a^{m}a^{0}=a^{m}\cdot 1=a^{m}=a^{m+0}\). Supposons \(a^{m}a^{n}=a^{m+n}\) ; alors \[a^{m}a^{n+1}=a^{m}(a^{n}a)=(a^{m}a^{n})\,a=a^{m+n}\,a=a^{(m+n)+1}=a^{m+(n+1)}.\] Le principe de récurrence conclut. Les lois du produit de puissances et de la puissance d'un produit se démontrent de même : \((a^{m})^{n+1}=(a^{m})^{n}a^{m}=a^{mn}a^{m}=a^{mn+m}=a^{m(n+1)}\), et \((ab)^{n+1}=(ab)^{n}(ab)=a^{n}b^{n}ab=a^{n+1}b^{n+1}\) par commutativité. Le quotient est un corollaire de l'exposant négatif (section III) : \(a^{m}/a^{n}=a^{m}a^{-n}=a^{m-n}\). ∎

Ce qui n'existe PAS. Aucune règle ne simplifie \(a^{n}+a^{m}\), ni \(a^{n}+b^{n}\), ni \((a+b)^{n}\) en une somme de puissances isolées. En particulier \((a+b)^{2}\neq a^{2}+b^{2}\), mais bien \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\). Les cinq lois concernent uniquement produits, quotients et compositions — jamais les sommes.

Exemple — Applications directes

\[ \begin{array}{lll} 2^{3}\cdot 2^{5}=2^{8}=256, & \dfrac{7^{9}}{7^{6}}=7^{3}=343, & (5^{2})^{4}=5^{8},\\[8pt] (3\cdot 4)^{2}=9\cdot 16=144, & \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}=\dfrac{8}{125}, & \dfrac{x^{7}y^{3}}{x^{2}y^{5}}=x^{5}y^{-2}=\dfrac{x^{5}}{y^{2}}. \end{array} \]

III — Exposant entier relatif

Définition 2 — Exposant négatif

Pour \(a \in \mathbb{R}^{*}\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose

\[a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{n}.\]

En particulier \(a^{-1}=1/a\) est l'inverse de \(a\).

Rien d'arbitraire ici non plus. On veut que \(a^{n}\,a^{-n}=a^{0}=1\) reste vrai : cela force \(a^{-n}=1/a^{n}\). Avec cette définition, les cinq lois de la section II deviennent valables pour tous les exposants \(m,n\in\mathbb{Z}\), sans exception.

Proposition 2 — Conséquences utilesdémontré

Pour \(a,b\in\mathbb{R}^{*}\) et \(n\in\mathbb{Z}\) :

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}=\frac{b^{n}}{a^{n}}, \qquad \frac{1}{a^{-n}}=a^{n}, \qquad \frac{a^{-m}}{b^{-n}}=\frac{b^{n}}{a^{m}}. \]

Un facteur « monte » ou « descend » de la fraction en changeant le signe de son exposant.

Remarque — Notation scientifique

Les puissances de \(10\) à exposant relatif fondent la notation scientifique : tout réel non nul s'écrit \(x=m\times 10^{k}\) avec \(1\leq |m|<10\) et \(k\in\mathbb{Z}\). Exemple : \(0{,}00042=4{,}2\times 10^{-4}\).

IV — Racines carrées : le socle

Définition 3 — Racine carrée

Pour \(a\geq 0\), la racine carrée de \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est l'unique réel positif dont le carré vaut \(a\) :

\[\sqrt{a}=b \iff \bigl(b\geq 0 \text{ et } b^{2}=a\bigr).\]

Dans \(\mathbb{R}\), \(\sqrt{a}\) n'est définie que pour \(a\geq 0\).

L'identité à ne jamais oublier. Pour tout réel \(a\) (positif ou négatif) : \[\sqrt{a^{2}}=|a| \qquad\text{et non}\qquad \sqrt{a^{2}}=a.\] En effet \(\sqrt{\ }\) renvoie toujours un résultat \(\geq 0\). Par exemple \(\sqrt{(-5)^{2}}=\sqrt{25}=5=|-5|\). De même, l'équation \(x^{2}=a\) (avec \(a>0\)) a deux solutions \(x=\pm\sqrt{a}\), alors que \(\sqrt{a}\) désigne la seule solution positive.

La source de l'erreur. On confond deux opérations inverses l'une de l'autre… qui ne le sont pas tout à fait. « Élever au carré » écrase le signe ; la racine ne peut donc pas le restituer et choisit, par convention, le représentant positif. D'où la valeur absolue : c'est le prix de l'ambiguïté du signe perdu.

Proposition 3 — Règles des radicaux carrésdémontré

Pour \(a,b\geq 0\) (et \(b>0\) pour le quotient) :

\[\sqrt{a\,b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \qquad \bigl(\sqrt{a}\bigr)^{2}=a.\]

Preuve (produit). Posons \(u=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\geq 0\). Alors \(u^{2}=(\sqrt a)^{2}(\sqrt b)^{2}=ab\). Comme \(u\geq 0\) et \(u^{2}=ab\), l'unicité de la racine donne \(u=\sqrt{ab}\). Le quotient s'obtient en l'appliquant à \(a=(a/b)\cdot b\). ∎

V — Racines n-ièmes

V.1 Définition selon la parité de \(n\)

Définition 4 — Racine n-ième

Soit \(n\in\mathbb{N}^{*}\).

Si \(n\) est impair, \(x\mapsto x^{n}\) est une bijection croissante de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Tout réel \(a\) admet donc une unique racine n-ième \(\sqrt[n]{a}\), définie sur \(\mathbb{R}\) entier : \[\sqrt[n]{a}=b \iff b^{n}=a \qquad (a\in\mathbb{R}).\]
Si \(n\) est pair, \(x\mapsto x^{n}\) envoie \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\). On définit \(\sqrt[n]{a}\) uniquement pour \(a\geq 0\), comme l'unique réel positif tel que \[\sqrt[n]{a}=b \iff \bigl(b\geq 0 \text{ et } b^{n}=a\bigr)\qquad (a\geq 0).\]

\(n\) est l'indice. Pour \(n=2\) on écrit \(\sqrt{a}\) ; pour \(n=3\), on parle de racine cubique.

Remarque — Existence et unicitéadmis

L'existence et l'unicité de \(\sqrt[n]{a}\) reposent sur le théorème de la bijection (une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection sur son image), établi en analyse. On l'admet ici et l'on s'en sert comme d'un socle.

Indice \(n\)	Domaine de \(a\) dans \(\mathbb{R}\)	Exemples
impair	\(\mathbb{R}\) tout entier	\(\sqrt[3]{-8}=-2\), \ \(\sqrt[5]{32}=2\)
pair	\(a\geq 0\) seulement	\(\sqrt[4]{16}=2\), \ \(\sqrt[4]{-16}\) non défini

Racine d'indice pair et valeur absolue. Comme pour la racine carrée : \[\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\ (n\text{ pair}), \qquad \sqrt[n]{a^{n}}=a\ (n\text{ impair}).\] Exemple : \(\sqrt[4]{(-3)^{4}}=\sqrt[4]{81}=3=|-3|\), mais \(\sqrt[3]{(-3)^{3}}=\sqrt[3]{-27}=-3\).

V.2 Propriétés des radicaux

Proposition 4 — Règles de calcul sur les racines n-ièmesdémontré

Sous réserve d'existence (tout est licite si \(a,b\geq 0\) ; pour \(n,m\) impairs, les identités valent sur \(\mathbb{R}\)) :

\[ \begin{array}{ll} \sqrt[n]{a\,b}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b} & \text{(produit)}\\[6pt] \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} & \text{(quotient, } b\neq 0)\\[6pt] \sqrt[n]{\,\sqrt[m]{a}\,}=\sqrt[nm]{a} & \text{(racine d'une racine)}\\[6pt] \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}} & \text{(puissance d'une racine)}\\[6pt] \sqrt[n]{a^{n}}=a\ (a\geq 0),\quad \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{n}=a & \text{(racine et puissance s'annulent)} \end{array} \]

De plus la racine se simplifie : \(\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^{m}}\) pour \(a\geq 0\) (on divise indice et exposant par un facteur commun).

Preuve (produit). Posons \(u=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}\geq 0\). Alors \(u^{n}=(\sqrt[n]{a})^{n}(\sqrt[n]{b})^{n}=ab\). Comme \(u\geq 0\) et \(u^{n}=ab\), l'unicité de la racine n-ième donne \(u=\sqrt[n]{ab}\). Les autres identités s'obtiennent de la même façon en élevant à la puissance \(n\) (ou \(nm\)) et en invoquant l'unicité. ∎

Exemple — Simplifications typiques

\[ \begin{aligned} \sqrt[3]{54} &= \sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}, & \sqrt{50} &= \sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2},\\ \sqrt[6]{8} &= \sqrt[6]{2^{3}}=2^{3/6}=2^{1/2}=\sqrt{2}, & \sqrt{\sqrt[3]{a}} &= \sqrt[6]{a}\ (a\geq 0). \end{aligned} \]

VI — Exposants rationnels

Idée maîtresse : une racine est une puissance à exposant fractionnaire. On unifie ainsi radicaux et puissances en une seule notation.

Définition 5 — Exposant rationnel

Pour \(a>0\) et \(p/q\in\mathbb{Q}\) (avec \(q\in\mathbb{N}^{*}\), \(p\in\mathbb{Z}\)) :

\[a^{1/q}=\sqrt[q]{a}, \qquad a^{p/q}=\bigl(\sqrt[q]{a}\bigr)^{p}=\sqrt[q]{a^{p}}.\]

Cette valeur ne dépend pas de la représentation de la fraction (si \(p/q=p'/q'\), les deux coïncident) : la définition est bien posée.

Proposition 5 — Toutes les lois se transportentadmis

Pour \(a,b>0\) et \(r,s\in\mathbb{Q}\) :

\[ a^{r}a^{s}=a^{r+s},\quad \frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s},\quad (a^{r})^{s}=a^{rs}, \quad (ab)^{r}=a^{r}b^{r},\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}. \]

Les cinq lois de la section II restent vraies pour tout exposant rationnel, à condition de travailler sur des bases strictement positives. (La vérification se ramène aux propriétés des racines ; on l'admet ici, elle est reprise via \(\exp/\ln\) en section VII.)

Pourquoi exiger \(a>0\) ? Sur base négative, \(a^{p/q}\) devient ambigu et les lois tombent en défaut : \[-2=\sqrt[3]{-8}=(-8)^{1/3}\ \overset{?}{=}\ (-8)^{2/6}=\sqrt[6]{(-8)^{2}}=\sqrt[6]{64}=2.\] La contradiction \(-2=2\) vient de ce que la simplification \(2/6\to 1/3\) n'est plus licite sur base négative. On réserve donc \(a^{p/q}\) aux bases \(a>0\) ; pour les bases négatives, on repasse par \(\sqrt[n]{\ }\) avec \(n\) impair, sans manipuler l'exposant comme une fraction.

Exemple — Conversions et calculs

\[ \begin{array}{ll} 8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^{2}=2^{2}=4, & 16^{-3/4}=\dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^{3}}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8},\\[8pt] 27^{-1/3}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{27}}=\dfrac{1}{3}, & \sqrt[4]{a^{6}}=a^{6/4}=a^{3/2}=a\sqrt{a}\ (a\geq 0). \end{array} \]

VII — Exposants réels

Comment donner un sens à \(2^{\sqrt{2}}\) ou \(a^{\pi}\), où l'exposant n'est pas rationnel ? Deux approches équivalentes.

Définition 6 — Puissance à exposant réel

Pour \(a>0\) et \(x\in\mathbb{R}\) :

\[a^{x}=\exp\bigl(x\ln a\bigr)=e^{\,x\ln a}.\]

De façon équivalente, \(a^{x}\) est la limite commune des \(a^{r_{n}}\) pour toute suite de rationnels \(r_{n}\to x\) : la fonction \(r\mapsto a^{r}\), continue et monotone sur \(\mathbb{Q}\), se prolonge de manière unique en une fonction continue sur \(\mathbb{R}\).

Proposition 6 — Les lois, via \(\exp/\ln\)démontré

Pour \(a>0\) et \(x,y\in\mathbb{R}\), les cinq lois restent valables. Elles se ramènent aux propriétés de \(\exp\) et \(\ln\) :

\[a^{x}a^{y}=e^{x\ln a}e^{y\ln a}=e^{(x+y)\ln a}=a^{x+y},\] \[(a^{x})^{y}=e^{y\ln(a^{x})}=e^{xy\ln a}=a^{xy}.\]

Preuve. Les deux égalités affichées ci-dessus sont les démonstrations : on utilise \(\ln(a^{x})=x\ln a\), la relation fonctionnelle \(e^{u}e^{v}=e^{u+v}\), et la bijectivité de \(\exp\). Les trois autres lois (produit, quotient de bases, puissance d'un produit) se traitent identiquement. ∎

Proposition 7 — Identités de passage \(\ln/\exp\)démontré

Pour \(a>0\), \(x\in\mathbb{R}\) :

\[\ln\!\bigl(a^{x}\bigr)=x\ln a, \qquad a^{x}=e^{x\ln a}, \qquad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}=e^{\frac{1}{n}\ln a}.\]

C'est l'outil qui transforme toute équation à exposant inconnu en équation linéaire, via le logarithme.

VII.1 Fonctions puissance et exponentielle

	Fonction puissance	Fonction exponentielle
Écriture	\(x\mapsto x^{\alpha}\), \(\alpha\) fixé	\(x\mapsto a^{x}\), \(a>0\) fixé
Variable	la base varie	l'exposant varie
Domaine	\(\mathbb{R}_{+}^{*}\) (ou plus, selon \(\alpha\))	\(\mathbb{R}\)
Dérivée	\(\alpha\,x^{\alpha-1}\)	\(a^{x}\ln a\)

Remarque — Ne pas confondre

\(x^{\alpha}\) (base variable, exposant constant) et \(a^{x}\) (base constante, exposant variable) sont deux fonctions de natures très différentes, aux dérivées et comportements asymptotiques distincts.

VIII — Techniques de manipulation

Méthode 1 — Rationaliser un dénominateur

Faire disparaître les racines du dénominateur en multipliant par une quantité bien choisie.

Racine simple : multiplier par la racine. \[\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \frac{5}{\sqrt[3]{2}}=\frac{5\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\,\sqrt[3]{4}}=\frac{5\sqrt[3]{4}}{2}.\]
Somme de racines : multiplier par la quantité conjuguée, en utilisant \((u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2}\). \[\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.\]

Méthode 2 — Extraire un facteur d'une racine

On isole les puissances n-ièmes parfaites.

\[\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}, \quad \sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}, \quad \sqrt{a^{5}}=a^{2}\sqrt{a}\ (a\geq 0).\]

Méthode 3 — Ramener à une base commune

Pour comparer ou résoudre, exprimer chaque terme comme puissance d'un même nombre.

Exemple

Résoudre \(4^{x}=8\). On écrit \(4=2^{2}\), \(8=2^{3}\), d'où \(2^{2x}=2^{3}\), donc \(2x=3\) et \(x=\tfrac{3}{2}\).

Méthode 4 — Passer au logarithme

Quand l'inconnue est en exposant sans base commune évidente : \[a^{x}=b \iff x=\frac{\ln b}{\ln a}\qquad (a>0,\ a\neq 1,\ b>0).\]

Exemple

\(3^{x}=20 \implies x=\dfrac{\ln 20}{\ln 3}\approx 2{,}727.\)

IX — Pièges classiques (récapitulatif)

Erreur fréquente	Correct
\((a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}\)	\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
\(\sqrt{a^{2}}=a\)	\(\sqrt{a^{2}}=\|a\|\)
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)	Aucune simplification en général
\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{mn}\)	\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\)
\((a^{m})^{n}=a^{m+n}\)	\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
\(a^{-n}=-a^{n}\)	\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\)
\(-3^{2}=9\)	\(-3^{2}=-(3^{2})=-9\) ; \((-3)^{2}=9\)
\(2^{3}+2^{3}=2^{6}\)	\(2^{3}+2^{3}=2\cdot 2^{3}=2^{4}=16\)
\((-8)^{1/3}\) traité comme \((-8)^{2/6}\)	Réserver \(a^{p/q}\) à \(a>0\) ; sinon \(\sqrt[3]{-8}=-2\)

Priorité de \(-3^{2}\). Sans parenthèses, l'exponentiation est prioritaire sur le signe : \(-3^{2}\) signifie \(-(3^{2})=-9\). Pour obtenir \(9\), il faut écrire \((-3)^{2}\). Même vigilance avec calculatrices et tableurs.

X — Ouverture : racines de l'unité

Complément — Les racines n-ièmes dans \(\mathbb{C}\)admis

Dans \(\mathbb{R}\), \(\sqrt[n]{a}\) donne une valeur. Dans \(\mathbb{C}\), l'équation \(z^{n}=1\) possède exactement \(n\) solutions, les racines n-ièmes de l'unité :

\[z_{k}=e^{2i\pi k/n}=\cos\!\frac{2\pi k}{n}+i\sin\!\frac{2\pi k}{n}, \qquad k=0,1,\dots,n-1.\]

Elles se répartissent régulièrement sur le cercle unité (sommets d'un polygone régulier à \(n\) côtés). Ce point de vue, développé dans le chapitre sur les nombres complexes, éclaire a posteriori pourquoi \(x^{n}=a\) a un nombre de solutions réelles qui dépend de la parité de \(n\) : les autres racines sont simplement… complexes.

XI — Ponts vers la suite

🔗 Ponts vers la suite

Maths — Logarithme & exponentielle. \(a^{x}=e^{x\ln a}\) fait des puissances un cas particulier de l'exponentielle ; \(\ln\) est l'outil de résolution des équations à exposant inconnu.
Maths — Suites géométriques. \(u_{n}=u_{0}\,q^{n}\) : le comportement (convergence, divergence) est entièrement gouverné par les puissances de \(q\).
Maths — Dérivation. \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\) prolonge la formule des entiers à tout \(\alpha\) réel, via \(x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}\).
Maths — Complexes. Racines n-ièmes de l'unité, formule de Moivre \((e^{i\theta})^{n}=e^{in\theta}\).
Physique. Lois de puissance et échelles logarithmiques : décibels \(L=10\log_{10}(P/P_{0})\), pH \(=-\log_{10}[\mathrm{H_3O^+}]\), décroissance radioactive \(N(t)=N_{0}\,2^{-t/T}\).
Sciences de l'ingénieur. Notation scientifique et ordres de grandeur, gains en \(\mathrm{dB}\), réponses en \(\omega^{n}\) des filtres (diagrammes de Bode en \(\log\)–\(\log\)).

🔴 Synthèse — l'idée qui traverse tout le chapitre

Étendre l'exposant de \(\mathbb{N}\) à \(\mathbb{R}\) n'a jamais consisté à « inventer » des règles, mais à choisir la seule définition qui préserve les cinq lois déjà connues. \(a^{0}=1\), \(a^{-n}=1/a^{n}\), \(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\), \(a^{x}=e^{x\ln a}\) : chacune est forcée par la cohérence, non postulée. Comprendre ce fil, c'est ne plus jamais avoir à mémoriser ces formules — on les reconstruit.

Formulaire de synthèse

Les lois, en un coup d'œil

Pour \(a,b>0\) et \(x,y\in\mathbb{R}\) (ou \(m,n\in\mathbb{Z}\) si les bases sont seulement non nulles) :

\[ \begin{array}{llll} a^{0}=1 & a^{1}=a & a^{-x}=\dfrac{1}{a^{x}} & a^{x}a^{y}=a^{x+y}\\[10pt] \dfrac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} & (a^{x})^{y}=a^{xy} & (ab)^{x}=a^{x}b^{x} & \left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}=\dfrac{a^{x}}{b^{x}} \end{array} \] \[ \sqrt[n]{a}=a^{1/n}, \qquad a^{p/q}=\sqrt[q]{a^{p}}=\bigl(\sqrt[q]{a}\bigr)^{p}, \qquad a^{x}=e^{x\ln a}, \qquad \ln(a^{x})=x\ln a. \]

Racines — mémo signes

\[ \sqrt[n]{a^{n}}=\begin{cases}|a| & n \text{ pair}\\ a & n \text{ impair}\end{cases} \qquad \begin{cases} n \text{ impair} : & \sqrt[n]{\ }\ \text{définie sur } \mathbb{R},\\ n \text{ pair} : & \sqrt[n]{\ }\ \text{définie sur } \mathbb{R}_{+}\ \text{seulement.} \end{cases} \]

\(n\)	\(2^{n}\)	\(3^{n}\)	\(5^{n}\)	\(10^{n}\)	\(\sqrt[n]{\ }\) notables
1	2	3	5	10	—
2	4	9	25	100	\(\sqrt{2}\approx 1{,}414\)
3	8	27	125	1000	\(\sqrt[3]{2}\approx 1{,}260\)
4	16	81	625	\(10^{4}\)	\(\sqrt[4]{2}\approx 1{,}189\)
5	32	243	3125	\(10^{5}\)	—
6	64	729	—	\(10^{6}\)	—

Puissances & Racines n-ièmes