Mathématiques PTSI · Nombres réels & Matrices · à rendre le 22 juin 2026
Mode d'emploi
Chaque question s'ouvre sur une phase de réflexion (questions à se poser, sans réponse). Les
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On note \(E\) l'ensemble des matrices \(M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) vérifiant les deux conditions
\[a+d=0 \qquad\text{et}\qquad ad-bc=0.\]
💭 D'abord : que disent ces deux conditions ?
Ne te jette pas sur les calculs. Ces deux égalités ne sont pas là par hasard — ce sont deux quantités très classiques attachées à une matrice \(2\times2\). Demande-toi :
\(a+d\) est la somme des coefficients diagonaux. Cette quantité porte un nom. Lequel ?
\(ad-bc\) : où as-tu déjà rencontré exactement cette expression pour une matrice \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) ? À quoi sert-elle (inversibilité ?) ?
Une fois ces deux noms reconnus : que devient la condition \(ad-bc=0\) du point de vue de l'inversibilité ? Et \(a+d=0\), comment te permet-elle d'écrire \(d\) en fonction de \(a\) ?
Reformuler ces conditions avant de calculer rend tout l'exercice limpide.
Voir la traduction des conditions
Les deux quantités sont la trace et le déterminant :
Donc \(E\) est l'ensemble des matrices \(2\times2\) de trace nulle et de déterminant nul. La condition \(a+d=0\) permet d'écrire \(d=-a\), c'est-à-dire \(M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\).
Un mot de vocabulaire : matrice nilpotente
Une matrice carrée \(N\) est dite nilpotente s'il existe un entier \(p\ge 1\) tel que
\[N^{p}=0 \quad(\text{la matrice nulle}).\]
Le plus petit tel \(p\) est l'indice de nilpotence. Quelques repères :
Exemple type : \(N=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) vérifie \(N^2=0\) (indice \(2\)), alors que \(N\neq 0\).
C'est impossible pour un nombre réel non nul (\(x^p=0\Rightarrow x=0\)) : la nilpotence est un phénomène propre aux matrices, lié à leur « dégénérescence ».
Une matrice nilpotente n'est jamais inversible (sinon \(N^p=0\) donnerait \(N=0\)), et sa seule valeur propre est \(0\).
Modèle mental : l'opérateur de dérivation sur les polynômes de degré \(\le n\) est nilpotent — en dérivant assez de fois, tout polynôme finit par s'annuler.
Garde ce mot en tête : on va voir que toutes les matrices de \(E\) sont nilpotentes.
🧭 Deux niveaux de méthode pour cet exercice
Toujours disponible : calculer directement les produits matriciels demandés, avec \(d=-a\).
Plus rapide (à connaître) : le théorème de Cayley–Hamilton affirme que toute matrice \(2\times2\) vérifie
\[M^2-\operatorname{tr}(M)\,M+\det(M)\,I=0.\]
Quand trace et déterminant sont nuls, il reste \(M^2=0\) sans aucun calcul.
Prérequis : trace, déterminant, produit matriciel, matrices qui commutent, formule du binôme de Newton.
1.(a) — Les matrices de \(E\) sont-elles inversibles ?
💭 À toi
Une seule des deux conditions décide de l'inversibilité. Laquelle, et quel critère relie déterminant et inversibilité ?
Voir la solution 1.(a)
Toute \(M\in E\) vérifie \(\det(M)=ad-bc=0\). Or une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Donc aucune matrice de \(E\) n'est inversible.
∎
1.(b) — Deux exemples appartiennent-ils à \(E\) ?
💭 À toi
Il suffit de tester les deux conditions sur \(P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\) et \(Q=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\). Calcule trace et déterminant de chacune.
Voir la solution 1.(b)
\(\operatorname{tr}(P)=1+(-1)=0\) et \(\det(P)=(1)(-1)-(1)(-1)=-1+1=0\) : donc \(P\in E\).
\(\operatorname{tr}(Q)=1+(-1)=0\) et \(\det(Q)=(1)(-1)-(-1)(1)=-1+1=0\) : donc \(Q\in E\).
∎
1.(c) — La somme et le produit de deux matrices de \(E\) sont-ils dans \(E\) ?
💭 Comment s'y prendre (avant toute technique)
L'énoncé veut qu'on montre que la somme et le produit n'appartiennent pas nécessairement à \(E\). Avant de calculer quoi que ce soit, demande-toi :
Que veut dire « pas nécessairement » ? C'est la négation de « pour toutes matrices de \(E\), la somme/le produit est dans \(E\) ». Pour démolir une affirmation universelle, de combien d'exemples as-tu besoin ?
Réponse : un seul suffit — un contre-exemple. Pas besoin de raisonner sur \(a,b,c,d\) en général.
Où trouver, sans effort, deux matrices de \(E\) sur lesquelles tester ? (Regarde la question que tu viens de traiter…)
Quel test rapide dit si le résultat est encore dans \(E\) ? (trace ? déterminant ?) Intuition : la condition de trace est « additive », mais celle de déterminant ne l'est pas du tout — c'est là que ça va casser.
Voir un coup de pouce
Réutilise \(P\) et \(Q\) de la question 1.(b), qui sont déjà dans \(E\). Calcule \(P+Q\) puis \(PQ\), et vérifie à chaque fois la trace et le déterminant : il suffit qu'une des deux conditions tombe pour conclure que le résultat n'est pas dans \(E\).
Voir la solution 1.(c)
Somme.
\[P+Q=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.\]
La trace vaut \(0\), mais \(\det(P+Q)=(2)(-2)-0=-4\neq 0\). Donc \(P+Q\notin E\).
Ce n'est pas un accident : la condition «\(\operatorname{tr}=0\)» est linéaire (donc stable par somme), mais «\(\det=0\)» est quadratique et ne se conserve ni par somme ni par produit. \(E\) n'est ni un sous-espace vectoriel, ni stable par produit.
1.(d) — Calculer \(M^2\), puis \(M^n\) pour \(n\ge 2\)
💭 À toi
Écris \(M\) générique avec \(d=-a\). Calcule \(M^2\) : tu vas obtenir une matrice scalaire \(\lambda I\). Que vaut \(\lambda\) si tu utilises la condition \(ad-bc=0\) ? Une fois \(M^2\) connu, qu'en déduis-tu pour \(M^n\), \(n\ge2\) ?
Voir la solution 1.(d)
Avec \(d=-a\), \(M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\) et
\[M^2=\begin{pmatrix} a^2+bc & 0 \\ 0 & a^2+bc \end{pmatrix}=(a^2+bc)\,I.\]
Or \(ad-bc=0\) s'écrit \(-a^2-bc=0\), soit \(bc=-a^2\), donc \(a^2+bc=0\). Ainsi \(\boxed{M^2=0}\) : \(M\) est nilpotente d'indice \(\le 2\). Par conséquent, pour tout \(n\ge 2\),
\[M^n=M^2\,M^{\,n-2}=0.\]
∎
Cayley–Hamilton donne le même résultat en une ligne : \(M^2-\operatorname{tr}(M)M+\det(M)I=0\) avec trace et déterminant nuls.
On pose désormais \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\) et \(I\) la matrice identité d'ordre \(2\).
2.(a) — Justifier l'inversibilité de \(A\)
💭 À toi
Un seul nombre à calculer. Lequel, et que doit-il vérifier ?
Voir la solution 2.(a)
\(\det(A)=(1)(5)-(2)(-2)=5+4=9\neq 0\) : donc \(A\) est inversible.
∎
2.(b) — \(K=A-3I\) appartient-elle à \(E\) ?
💭 À toi
Calcule \(K=A-3I\), puis teste les deux conditions (trace, déterminant). Que peux-tu alors affirmer sur \(K^2\) ?
Voir la solution 2.(b)
\[K=A-3I=\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix},\qquad \operatorname{tr}(K)=0,\quad \det(K)=(-2)(2)-(2)(-2)=0.\]
Donc \(K\in E\), et d'après 1.(d) on a \(K^2=0\).
∎
2.(c) — Montrer que \(A^n=3^nI+n\,3^{\,n-1}K\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\)
💭 Comment trouver l'idée tout seul
On cherche \(A^n\). Le problème : \(A\) n'a rien de particulier pour les puissances. Mais la question 2.(b) vient de te fabriquer un objet en or :
\(K\) vérifie \(K^2=0\). Une matrice dont le carré est nul, c'est rêvé pour calculer des puissances : presque tous les termes vont disparaître.
Ce qui gêne dans \(K=A-3I\) : \(K\) est définie à partir de \(A\)… alors que c'est \(A\) dont on veut les puissances, pas \(K\). On a la relation « à l'envers ».
Le réflexe : retourne la relation pour exprimer \(A\) en fonction de \(K\). Que devient \(A\) ?
Une fois \(A\) écrite ainsi, repère deux propriétés cadeaux : l'un des deux morceaux commute avec tout (c'est un multiple de \(I\)), l'autre s'annule au carré. Quel outil exploite « deux matrices qui commutent » + « l'une nilpotente » ?
Voir un coup de pouce
Inverse la relation \(K=A-3I\) : \[A=3I+K.\]
Maintenant \(3I\) commute avec \(K\) (c'est un scalaire), donc la formule du binôme de Newton s'applique à \((3I+K)^n\). Et comme \(K^2=0\), tous les termes contenant \(K^2,K^3,\dots\) sont nuls : il n'en reste que deux.
Voir la solution 2.(c)
Démonstration (binôme de Newton).
\(A=3I+K\), et \(3I\) commute avec \(K\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[A^n=(3I+K)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(3I)^{\,n-k}K^{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^{\,n-k}K^{k}.\]
Comme \(K^2=0\), seuls les termes \(k=0\) et \(k=1\) subsistent :
\[A^n=3^{n}I+n\,3^{\,n-1}K.\]
(Vérifications : \(n=0\) donne \(I\) ; \(n=1\) donne \(3I+K=A\).)
Variante par récurrence
\(A^{n+1}=A^n A=(3^nI+n3^{n-1}K)(3I+K)=3^{n+1}I+(n+1)3^{n}K\) (en utilisant \(K^2=0\)) : l'hérédité est immédiate.
3.(a) — Unique couple \((\alpha,\beta)\) tel que \(A^2+\alpha A+\beta I=0\)
💭 À toi
Deux pistes : développer \(A^2=(3I+K)^2\) avec \(K^2=0\) (rapide), ou calculer \(A^2\) puis identifier coefficient par coefficient. Dans les deux cas, pourquoi le couple est-il unique ?
Voir la solution 3.(a)
Avec \(A=3I+K\) et \(K^2=0\) : \(A^2=9I+6K\). Donc
\[A^2+\alpha A+\beta I=(9+3\alpha+\beta)\,I+(6+\alpha)\,K.\]
Comme \(I\) et \(K\) ne sont pas proportionnelles, cette matrice est nulle ssi chaque coefficient l'est :
\[\begin{cases} 6+\alpha=0 \\ 9+3\alpha+\beta=0 \end{cases}\Longleftrightarrow (\alpha,\beta)=(-6,\,9).\]
Existence et unicité acquises : \(\boxed{(\alpha,\beta)=(-6,9)}\). On reconnaît \(\chi_A(X)=X^2-6X+9=(X-3)^2\).
∎
3.(b) — \(A\) inversible et \(A^{-1}=\dfrac{2}{3}I-\dfrac{1}{9}A\)
💭 À toi
Pars de \(A^2-6A+9I=0\). Isole \(9I\), puis factorise par \(A\) : tu obtiens \(A\times(\text{quelque chose})=I\). Que dit cette égalité ?
Voir la solution 3.(b)
De \(A^2-6A+9I=0\) : \(9I=6A-A^2=A(6I-A)\), donc
\[A\left(\tfrac{2}{3}I-\tfrac{1}{9}A\right)=I.\]
Cette égalité prouve à la fois l'inversibilité de \(A\) et \(A^{-1}=\tfrac{2}{3}I-\tfrac{1}{9}A=\begin{pmatrix} 5/9 & -2/9 \\ 2/9 & 1/9 \end{pmatrix}\).
∎
Un polynôme annulateur de terme constant non nul (ici \(9=\det A\)) donne toujours l'inverse. Terme constant non nul \(\Leftrightarrow\) matrice inversible.
3.(c) — \(A^{-1}=\dfrac{1}{3}I-\dfrac{1}{9}K\) et validité sur \(\mathbb{Z}\)
💭 À toi
Remplace \(A=3I+K\) dans l'expression de \(A^{-1}\). Puis teste la formule \(A^n=3^nI+n3^{n-1}K\) en \(n=-1\) : retombes-tu sur \(A^{-1}\) ? Pour conclure sur tout \(\mathbb{Z}\), cherche une relation du type \(B_nB_m=B_{n+m}\).
Voir la solution 3.(c)
Expression avec \(K\).
\[A^{-1}=\tfrac{2}{3}I-\tfrac{1}{9}(3I+K)=\tfrac{1}{3}I-\tfrac{1}{9}K.\]
Validité pour \(n\in\mathbb{Z}\).
En \(n=-1\), la formule prédit \(3^{-1}I+(-1)3^{-2}K=\tfrac{1}{3}I-\tfrac{1}{9}K=A^{-1}\) : elle marche.
Posons \(B_n=3^nI+n3^{\,n-1}K\) pour \(n\in\mathbb{Z}\). Grâce à \(K^2=0\) :
\[B_n\,B_m=3^{\,n+m}I+(n+m)3^{\,n+m-1}K=B_{n+m}.\]
Donc \(B_nB_{-n}=B_0=I\) : \(B_n\) est inversible, d'inverse \(B_{-n}\). Comme \(A^n=B_n\) pour \(n\ge 0\) et \(A^{-1}=B_{-1}\), pour \(n<0\) :
\[A^n=(A^{-1})^{|n|}=(B_{-1})^{|n|}=B_{-|n|}=B_n.\]
La formule vaut donc pour tout \(n\in\mathbb{Z}\).
∎
\(n\mapsto A^n\) est un morphisme de groupes \((\mathbb{Z},+)\to(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}),\times)\) : c'est la version discrète de l'exponentielle, car \(A=3\!\left(I+\tfrac{K}{3}\right)\) avec \((K/3)^2=0\).
Exercice 2 — Nombres réels
\(A,B\) sont non vides et bornées ; \(x\in\mathbb{R}\). Comme \(\mathbb{R}\) vérifie la propriété de la borne supérieure, tous les \(\sup/\inf\) existent.
🧭 La boîte à outils du \(\sup\)
Pour prouver \(s=\sup(X)\), deux stratégies équivalentes :
« plus petit majorant » : (i) \(s\) majore \(X\) ; (ii) tout majorant \(M\) vérifie \(M\ge s\).
« caractérisation \(\varepsilon\) » (souvent plus rapide) : (i) \(s\) majore \(X\) ; (ii) pour tout \(\varepsilon\gt0\), il existe un élément de \(X\) strictement \(\gt s-\varepsilon\).
Réflexes : \(-A\) retourne l'ordre (\(\sup\leftrightarrow\inf\)) ; \(x+A\) translate ; la multiplication ne respecte l'ordre que pour des facteurs positifs — d'où la question 4.
1. \(\sup(-A)=-\inf(A)\)
💭 À toi
Pose \(m=\inf(A)\). Montre que \(-m\) majore \(-A\), puis que c'est le plus petit majorant (en traduisant « \(M\) majore \(-A\) » sur les éléments de \(A\)).
Voir un coup de pouce
Tout repose sur la bascule \(a\ge m \iff -a\le -m\). Pour le « plus petit majorant » : prends un majorant \(M\) de \(-A\), réécris-le en une minoration de \(A\) (\(a\ge -M\)), puis sers-toi du fait que \(\inf(A)\) est le plus grand des minorants de \(A\).
plus petit : si \(M\) majore \(-A\), alors \(\forall a,\ -a\le M\), soit \(a\ge -M\) ; donc \(-M\) minore \(A\), d'où \(-M\le m\), soit \(M\ge -m\).
Ainsi \(\sup(-A)=-m=-\inf(A)\).
∎
2. \(\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)\)
💭 À toi
Note \(s=\sup A,\ t=\sup B\). Montre d'abord que \(s+t\) majore \(A+B\). Puis, avec la méthode \(\varepsilon\), fabrique \(a+b\) aussi proche que voulu de \(s+t\) (coupe \(\varepsilon\) en deux).
Voir un coup de pouce
Pour l'étape \(\varepsilon\), il te faut un seul élément \(a+b\in A+B\) qui dépasse \(s+t-\varepsilon\). Par définition de \(\sup\), choisis \(a\gt s-\tfrac{\varepsilon}{2}\) et \(b\gt t-\tfrac{\varepsilon}{2}\) ; en additionnant, les deux \(\tfrac{\varepsilon}{2}\) se recollent en \(\varepsilon\).
Approche (\(\varepsilon\)). Soit \(\varepsilon\gt0\). Il existe \(a\gt s-\tfrac{\varepsilon}{2}\) et \(b\gt t-\tfrac{\varepsilon}{2}\), donc \(a+b\gt (s+t)-\varepsilon\) avec \(a+b\in A+B\). Aucun réel \(\lt s+t\) ne majore \(A+B\) : \(\sup(A+B)=s+t\).
∎
3. \(\sup(x+A)=x+\sup(A)\)
💭 À toi
Peux-tu voir cette égalité comme un cas particulier de la question 2 ? (Que vaut \(\sup\) d'un singleton ?)
Voir un coup de pouce
Le singleton \(\{x\}\) est non vide et borné, avec \(\sup\{x\}=x\). Applique la question 2 à \(B=\{x\}\) : comme \(A+\{x\}=x+A\), le résultat tombe en une ligne, sans refaire d'argument \(\varepsilon\).
Voir la solution
Cas particulier de la question 2 avec \(B=\{x\}\) (et \(\sup\{x\}=x\)) : \(\sup(x+A)=x+\sup(A)\). Direct : \(x+s\) majore \(x+A\) ; et pour \(\varepsilon\gt0\), \(\exists a\gt s-\varepsilon\Rightarrow x+a\gt(x+s)-\varepsilon\). D'où l'égalité.
∎
4. A-t-on toujours \(\sup(AB)=\sup(A)\times\sup(B)\) ?
💭 À toi
Méfie-toi des signes. Teste sur un petit ensemble de nombres négatifs (deux suffisent) : que devient le produit de deux négatifs ? Puis devine quelle hypothèse de signe rétablirait l'égalité.
Voir un coup de pouce
Prends le plus petit cas possible : \(A=B=\{-2,-1\}\). Calcule \(\sup A\) et \(\sup B\), puis liste tous les produits \(ab\) et garde le plus grand — c'est le produit des deux éléments les plus négatifs qui l'emporte. Pour réparer : impose \(a,b\ge 0\), de sorte que \(0\le a\le s\) et \(0\le b\le t\) entraînent bien \(ab\le st\).
Voir la solution
Faux en général. Le produit de deux négatifs est positif et peut dépasser le produit des \(\sup\).
Contre-exemple
\(A=B=\{-2,-1\}\) : \(\sup A=\sup B=-1\), donc \(\sup A\cdot\sup B=1\) ; mais \(AB=\{4,2,1\}\), \(\sup(AB)=4\neq 1\).
Hypothèse réparatrice
Si \(A,B\subseteq\mathbb{R}_+=[0,+\infty[\) (tous éléments \(\ge0\)), alors \(\sup(AB)=\sup(A)\sup(B)\).
Preuve (cas \(A,B\subseteq\mathbb{R}_+\)).
Posons \(s=\sup A\ge0,\ t=\sup B\ge0\). Majorant : \(0\le a\le s,\ 0\le b\le t\Rightarrow ab\le sb\le st\). Approche : si \(s\) ou \(t\) est nul, l'ensemble vaut \(\{0\}\) et l'égalité est claire ; sinon, pour \(\delta\) petit, \(\exists a\gt s-\delta,\ b\gt t-\delta\) (positifs), d'où \(ab\gt(s-\delta)(t-\delta)\to st\). Donc \(\sup(AB)=st\).
∎
Exercice 3 — Facultatif
🧭 Dompter une inégalité
Inéquation rationnelle : ne jamais multiplier en croix sans le signe des dénominateurs. Tout passer d'un côté, réduire au même dénominateur, factoriser, dresser un tableau de signes. Réflexe : \(3x-6=3(x-2)\).
Valeurs absolues : repérer les points de changement de signe, découper \(\mathbb{R}\), résoudre sans valeur absolue sur chaque morceau, recoller.
Domaine d'abord (\(x\neq2,\ x\neq-4\)). Passe \(2\) à gauche, réduis au dénominateur \((x-2)(x+4)\), simplifie \(3x-6=3(x-2)\), factorise le numérateur, puis tableau de signes. Attention au sens de l'inégalité si tu divises par un nombre négatif.
Voir la solution (I)
Le numérateur après réduction est
\[N=(2x+5)(x+4)-3(x-2)^2-2(x-2)(x+4)=-3x^2+21x+24=-3(x-8)(x+1).\]
L'inéquation devient \(\dfrac{-3(x-8)(x+1)}{(x-2)(x+4)}\lt0\), soit (en divisant par \(-3\lt0\))
\[\frac{(x-8)(x+1)}{(x-2)(x+4)}\gt0.\]
\(x\)
\(-\infty\)
\(-4\)
\(-1\)
\(2\)
\(8\)
\(+\infty\)
\(x+4\)
\(-\ \|\ +\)
\(+\)
\(+\)
\(+\)
\(x+1\)
\(-\)
\(-\ 0\ +\)
\(+\)
\(+\)
\(x-2\)
\(-\)
\(-\)
\(-\ \|\ +\)
\(+\)
\(x-8\)
\(-\)
\(-\)
\(-\)
\(-\ 0\ +\)
quotient
\(+\)
\(\|\ -\)
\(0\ +\)
\(\|\ -\)
\(0\ +\)
On veut le quotient \(\gt0\) (strict : \(-1\) et \(8\) exclus ; \(-4,2\) déjà exclus) :
\[\boxed{S_{(I)}=\;]-\infty,-4[\;\cup\;]-1,2[\;\cup\;]8,+\infty[}.\]
(Contrôle : \(x=0\Rightarrow -1\lt2\) ✓ ; \(x=5\Rightarrow 4\not\lt2\) ✓.)
∎
\(|3-x|\) change en \(x=3\) ; \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\) change de signe en \(-1\) et \(2\). Découpe selon \(-1,2,3\) et résous une inéquation polynomiale sur chaque morceau, sans valeur absolue.
Exercice 1 → réduction, exponentielle de matrices, systèmes dynamiques
Maths (2ᵉ année) : l'écriture \(A=3I+K\) (scalaire \(+\) nilpotente) est le cœur de la décomposition de Dunford et des blocs de Jordan. \(\chi_A=(X-3)^2\) annonce les matrices trigonalisables non diagonalisables.
Cayley–Hamilton : ici en filigrane (\(A^2-6A+9I=0\)), il sert systématiquement à calculer \(A^{-1}\) et \(A^n\).
Exponentielle : \(\exp(tA)=e^{3t}(I+tK)\) (car \(K^2=0\)) — analogue continu de \(A^n=3^n(I+nK/3)\).
Physique / SI : la solution de \(\dot X=AX\) est \(X(t)=\exp(tA)X_0\). Une valeur propre double avec bloc nilpotent ↔ régime critique (amortissement critique, masse–ressort, RLC). En automatique, \(\exp(tA)\) est la matrice de transition de l'état.
Exercice 2 → complétude de \(\mathbb{R}\), analyse, optimisation
Analyse : l'existence des \(\sup/\inf\) repose sur l'axiome de la borne supérieure — fondement de la convergence des suites monotones bornées, du TVI, de la borne atteinte sur un segment.
\(\sup(A+B)=\sup A+\sup B\) est le premier pas vers l'analyse convexe : la fonction d'appui \(h_X(u)=\sup_{x\in X}\langle u,x\rangle\) vérifie \(h_{A+B}=h_A+h_B\) (somme de Minkowski), centrale en optimisation.
Physique / SI : la norme \(\|\cdot\|_\infty\) (un \(\sup\)) mesure l'amplitude maximale d'un signal ou d'une erreur ; marges de stabilité et pires cas de tolérance se formulent comme des \(\sup\).
Exercice 3 → distance, fonctions par morceaux, topologie
Analyse : \(|x-a|\) est la distance de \(x\) à \(a\) — prélude aux voisinages, aux \(\varepsilon\)-\(\delta\), à la continuité. Les disjonctions de cas du \((J)\) sont la première rencontre avec les fonctions par morceaux.
Méthode transférable : tableau de signes \(+\) factorisation = la technique pour les domaines, le signe d'une dérivée (variations), la position relative de deux courbes.
Physique / SI : valeurs absolues = amplitudes, modules, écarts ; inéquations rationnelles = domaines de validité et conditions de stabilité.
🔴 Le fil conducteur du DM
Traduire avant de calculer. « Trace et déterminant nuls » → nilpotence ; « plus petit majorant » → caractérisation \(\varepsilon\) ; « valeur absolue » → distance et disjonction de cas. La bonne reformulation transforme un calcul pénible en raisonnement court.