| Définitions | |
| Déf. 1 — Conjugué | → I.2 |
| Déf. 2 — Module | → II.2 |
| Déf. 3 — Fonctions vectorielles | → III.1 |
| Déf. 4 — Exponentielle sur \(i\mathbb{R}\) : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) | → III.2 |
| Déf. 5 — Cercle unité \(\mathbb{U}\) | → III.3 |
| Déf. 6 / Thm. 6 — Forme polaire et argument | → IV.1 |
| Déf. 7 — Exponentielle complexe \(e^z\) | → VI |
| Théorèmes | |
| Thm. 1 — Fondamental : \(\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}\), \(z\in\mathbb{R}\iff z=\bar{z}\) | → I.2 |
| Thm. 2 — Équations du 2nd degré à coefficients réels | → I.3 |
| Thm. 3 — Racines conjuguées d'un polynôme réel ★ avec preuve | → I.3 |
| Thm. 4 — Bijection \(\mathbb{R}^2\leftrightarrow\mathbb{C}\) | → II |
| Thm. 5 — Continuité des fonctions vectorielles | → III.1 |
| Thm. 6 — Dérivabilité des fonctions vectorielles | → III.1 |
| Thm. 7 — Relation d'Euler : \(e^{i\pi}+1=0\) | → III.2 |
| Thm. 8 — \(\mathbb{U}=\{e^{i\theta},\,\theta\in\mathbb{R}\}\) | → III.3 |
| Thm. 9 — Caractérisation réels/imaginaires par l'argument | → IV.1 |
| Thm. 10 — Égalité en forme exponentielle | → IV.2 |
| Thm. 11 — Formule de Moivre | → V.1 |
| Thm. 12 — Morphisme : \(e^z\cdot e^{z'}=e^{z+z'}\) | → VI |
| Thm. 13 — Égalité des exponentielles complexes | → VI |
| Thm. 14 — Image réciproque de \(e^z=\omega\) | → VI |
| Propositions | |
| Prop. 1 — \(z\bar{z}\in\mathbb{R}_+\) | → I.2 |
| Prop. 2 — Propriétés du conjugué (6 règles) | → I.2 |
| Prop. 3 — Plan complexe et affixe | → II.1 |
| Prop. 4 — Conjugué = symétrique axe réel | → II.1 |
| Prop. 5 — Propriétés du module (8 règles) | → II.2 |
| Prop. 6 — \(1/z = \bar{z}/|z|^2\) | → II.2 |
| Prop. 7 — Inégalité triangulaire | → II.3 |
| Prop. 8 — Dérivation : \((\lambda f+g)',\,(fg)',\,(f/g)'\) | → III.1 |
| Prop. 9 — Propriétés de \(e^{i\theta}\) (6 règles) | → III.2 |
| Prop. 10 — Propriétés de \(\mathbb{U}\) | → III.3 |
| Prop. 11 — Produit, puissance, conjugué, quotient, inverse polaires | → IV.2 |
| Prop. 12 — Propriétés algébriques de l'argument | → IV.3 |
| Prop. 13 — Formules d'Euler | → V.1 |
| Prop. 14 — Formules d'addition | → V.1 |
| Prop. 15 — Factorisation par l'angle moitié (4 formules) | → V.3 |
| Prop. 16 — Transformation de Fresnel | → V.6 |
| Prop. 17 — Forme algébrique et polaire de \(e^z\) | → VI |
| Corollaires | |
| Cor. 1 — Inégalité triangulaire généralisée | → II.3 |
| Cor. 2 — Bijectivité de \(\theta\mapsto e^{i\theta}\) | → III.3 |
| Méthodes | |
| Méthode 1 — Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur | → I.1 |
| Méthode 2 — Forme algébrique d'un quotient (× conjugué) | → I.2 |
| Méthode 3 — Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur (via conjugué) | → I.2 |
| Méthode 5 — Linéarisation de \(\cos^n x\,\sin^m x\) | → V.2 |
| Méthode 6 — Factorisation par l'angle de l'arc moitié | → V.3 |
| Méthode 7 — Délinéarisation de \(\cos nx\) et \(\sin nx\) | → V.5 |
| Exercices | |
| Ex. 1 — Forme algébrique de \(f(z)=z^2\), lieux géométriques | → I.1 |
| Ex. 2 — Calculer des conjugués | → I.2 |
| Ex. 3 — Forme algébrique de quotients | → I.2 |
| Ex. 4 — Conjugués d'expressions en \(z\) et \(\bar{z}\) | → I.2 |
| Ex. 5 — Montrer que \((1+z)/(1-z)\) est imaginaire pur si \(|z|=1\) | → I.2 |
| Ex. 6 ★ — Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2-7z=0\), \(z^2-4z+5=0\), \(-8=3z^2\) | → I.3 |
| Ex. 7 — Résoudre \(z^4+4z^2-21=0\) | → I.3 |
| Ex. 8 — Lieux géométriques dans le plan complexe | → II.1 |
| Ex. 9 — Calculer des modules | → II.2 |
| Ex. 10 — Placer \(1,\bar{1},j,\bar{j}\) avec \(j=e^{2i\pi/3}\) | → II.2 |
| Ex. 11 — Modules d'expressions complexes | → II.2 |
| Ex. 12 — Définir Re(\(f\)), Im(\(f\)), \(\bar{f}\), \(|f|\) pour \(f(x)=\sin x+i(x^2-1)\) | → III.1 |
| Ex. 13 — Dérivabilité et calcul de \(f'\) | → III.1 |
| Ex. 14 — \((1+z)/(1-z)\in i\mathbb{R}\iff z\in\mathbb{U}\) | → III.3 |
| Ex. 15 — Forme algébrique depuis forme trigonométrique | → IV.1 |
| Ex. 18 — Calculs en notation exponentielle ; égalité à établir | → IV.2 |
| Ex. 19 — Linéariser \(\cos^5 x\) et \(\cos^2 x\sin^3 x\) | → V.2 |
| Ex. 20 — Factoriser \(1+e^{it}\), \(e^{ip}+e^{iq}\) ; formules de Simpson | → V.3 |
| Ex. 21 — Mettre \(e^{i\pi/4}+e^{i\pi/3}\) sous forme exponentielle | → V.3 |
| Ex. 22 — Sommes \(A_n(t)\) et \(B_n(t)\) | → V.4 |
| Ex. 23 — Exprimer \(\cos(6x)\) en fonction de \(\cos x\) | → V.5 |
| Ex. 24 — Simplifier \(\sqrt{2}\cos\theta+\sqrt{6}\sin\theta\) | → V.6 |
| Ex. 25 — Résoudre \(e^z=2+i\) | → VI |
La construction de l'ensemble des nombres complexes est hors-programme. On admet donc qu'il existe un ensemble \(\mathbb{C}\) contenant \(\mathbb{R}\),
Ainsi :
On a, pour tout \((z,z') \in \mathbb{C}^2\) :
\[\begin{array}{ll} \operatorname{Re}(z+z') = \operatorname{Re}\,z + \operatorname{Re}\,z' &\quad\text{et}\quad \operatorname{Im}(z+z') = \operatorname{Im}\,z + \operatorname{Im}\,z'\\[4pt] \operatorname{Re}(zz') = \operatorname{Re}\,z\cdot\operatorname{Re}\,z' - \operatorname{Im}\,z\cdot\operatorname{Im}\,z' &\quad\text{et}\quad \operatorname{Im}(zz') = \operatorname{Re}\,z\cdot\operatorname{Im}\,z' + \operatorname{Re}\,z'\cdot\operatorname{Im}\,z \end{array}\]On en déduit, comme dans \(\mathbb{R}\), que si les complexes \(z\) et \(z'\) vérifient \(zz' = 0\), alors \(z = 0\) ou \(z' = 0\). En effet, si \(z \neq 0\), alors en multipliant l'égalité \(zz' = 0\) par \(z^{-1}\), on obtient \(z' = 0\).
Les règles de calcul étant les mêmes dans \(\mathbb{C}\) et \(\mathbb{R}\), toutes les formules qui n'utilisent que ces règles de calcul et qui sont valables dans \(\mathbb{R}\) le sont dans \(\mathbb{C}\). C'est vrai en particulier de la formule du binôme :
\[\forall n \in \mathbb{N},\;\forall(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2,\quad (z_1+z_2)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z_1^k\,z_2^{n-k},\]de la formule donnant la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique :
\[\forall(p,n)\in\mathbb{N}^2,\;\forall z\in\mathbb{C}\setminus\{1\},\quad \sum_{k=p}^{n+p} z^k = \frac{z^{n+p+1}-z^p}{z-1} = \frac{z^p(z^{n+1}-1)}{z-1},\]et de la factorisation :
\[\forall n \in \mathbb{N}^*,\;\forall(a,b)\in\mathbb{C}^2,\quad a^n - b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}.\]Pour montrer qu'un nombre complexe est réel ou imaginaire pur :
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{C}\) dans \(\mathbb{C}\) définie par \(f(z) = z^2\).
| (a) \(f(z) \in \mathbb{R}\) | (c) \(\operatorname{Im}(f(z)) = 2\) |
| (b) \(f(z)\) imaginaire pur | (d) \(\operatorname{Re}(f(z)) = \operatorname{Im}(z)\) |
Soit \(z = a + ib\) un nombre complexe.
On appelle conjugué de \(z\), noté \(\bar{z}\), le nombre
\[\bar{z} = a - ib.\]
Calculer les conjugués des nombres complexes suivants :
\[z_1 = \frac{3}{7} - i\sqrt{7} \qquad z_2 = \sqrt{2} - 3 \qquad z_3 = \sqrt{7} + i\pi\]Pour trouver la forme algébrique d'un quotient, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Trouver la forme algébrique du nombre complexe \(z = \dfrac{2-i}{3+2i}\).
L'idée est de rendre réel le dénominateur. On utilise la même idée qu'avec les racines
carrées sachant que \(i^2 = -1\). La méthode consiste à multiplier numérateur et dénominateur
par le conjugué du dénominateur et à utiliser : \((a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2\).
Ici, on va donc multiplier numérateur et dénominateur par \(3 - 2i\) :
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
\[z_1 = \frac{1}{1+i} \qquad z_2 = \frac{1+i}{1-i} \qquad z_3 = \frac{7}{i}\]Soit \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes, alors :
Soit \(z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe, déterminer les conjugués des nombres complexes suivants :
\[z_1 = z + i\bar{z} \qquad z_2 = iz + 2 \qquad z_3 = z + \frac{1}{z} \qquad z_4 = z + i\bar{z}\]Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) :
\[\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2} \qquad \operatorname{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}\]Soit \(z = a + ib\) avec \((a, b) \in \mathbb{R}^2\), de sorte que \(\bar{z} = a - ib\).
Formules pour Re et Im. On calcule directement : \[z + \bar{z} = (a+ib) + (a-ib) = 2a \implies \frac{z+\bar{z}}{2} = a = \operatorname{Re}(z).\] \[z - \bar{z} = (a+ib) - (a-ib) = 2ib \implies \frac{z-\bar{z}}{2i} = \frac{2ib}{2i} = b = \operatorname{Im}(z).\]
Caractérisation de \(\mathbb{R}\). \[z = \bar{z} \iff a + ib = a - ib \iff 2ib = 0 \iff b = 0 \iff z \in \mathbb{R}.\]
Caractérisation de \(i\mathbb{R}\). \[z = -\bar{z} \iff a + ib = -(a-ib) = -a + ib \iff 2a = 0 \iff a = 0 \iff z \in i\mathbb{R}.\]
■On retiendra qu'un nombre complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué ou encore si et seulement si le point M d'affixe \(z\) appartient à l'axe des abscisses.
Soit \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) tel que \(a^2 + b^2 = 1\).
Montrer que si \(z \neq 1\), alors \(\dfrac{1+z}{1-z}\) est un imaginaire pur.
Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\). On considère l'équation :
L'équation \((\star)\) admet toujours des solutions dans \(\mathbb{C}\).
On appelle discriminant de l'équation \((\star)\), noté \(\Delta\),
le nombre réel défini par \(\Delta = b^2 - 4ac\).
Soit l'équation \(z^2 - z + 1 = 0\). On a \(\Delta = -3 = (i\sqrt{3})^2\).
Les solutions sont donc \(z_1 = \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}\) et
\(z_2 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}\). Et on a la forme factorisée :
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
Soit \(P(X) = a_n X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0\) un polynôme à coefficients réels.
Supposons que \(\alpha\) est une racine de \(P\), c'est-à-dire \(P(\alpha) = 0\). On calcule \(P(\bar{\alpha})\) :
\[P(\bar{\alpha}) = a_n \bar{\alpha}^n + a_{n-1}\bar{\alpha}^{n-1} + \ldots + a_1\bar{\alpha} + a_0.\]On utilise maintenant deux propriétés du conjugué (Proposition 2) :
Puisque les coefficients \(a_k\) sont réels, on a \(\bar{a_k} = a_k\). Donc :
\[\overline{P(\alpha)} = \overline{a_n \alpha^n + \ldots + a_0} = \bar{a_n}\,\bar{\alpha}^n + \ldots + \bar{a_0} = a_n\bar{\alpha}^n + \ldots + a_0 = P(\bar{\alpha}).\]Or \(P(\alpha) = 0\), donc \(\overline{P(\alpha)} = \bar{0} = 0\). On conclut :
\[P(\bar{\alpha}) = \overline{P(\alpha)} = 0.\]Ainsi \(\bar{\alpha}\) est bien une racine de \(P\). L'implication réciproque s'obtient en échangeant \(\alpha\) et \(\bar{\alpha}\) (et en utilisant \(\bar{\bar{\alpha}} = \alpha\)).
□Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^4 + 4z^2 - 21 = 0\).
Cette bijection permet d'identifier l'ensemble des nombres complexes au plan usuel muni d'un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\) appelé plan complexe.
Par définition de \(\mathbb{C}\), tout nombre complexe s'écrit de manière unique \(z = a + ib\) avec \((a,b) \in \mathbb{R}^2\). Ceci signifie exactement que \(\varphi\) est bijective.
Injectivité. Soient \((a,b), (a',b') \in \mathbb{R}^2\) tels que \(\varphi(a,b) = \varphi(a',b')\), i.e. \(a+ib = a'+ib'\). Par identification des parties réelles et imaginaires : \(a = a'\) et \(b = b'\), donc \((a,b) = (a',b')\). \(\checkmark\)
Surjectivité. Soit \(z \in \mathbb{C}\). Par définition, \(z\) admet une écriture \(z = a + ib\) avec \(a = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}\) et \(b = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}\). Alors \(\varphi(a,b) = z\). \(\checkmark\)
■Le théorème précédent permet donc d'associer à \(z = a + ib \in \mathbb{C}\) un unique point M du plan de coordonnées \((a;b)\), et un unique vecteur \(\varphi(z)\) tel que \(\varphi(z) = \overrightarrow{OM} = a\vec{u} + b\vec{v}\). Plus précisément,
L'axe des abscisses est alors naturellement appelé l'axe des réels et l'axe des ordonnées celui des imaginaires purs.
Dans chacun des cas suivants, déterminer et représenter l'ensemble des points M dont l'affixe \(z\) vérifie l'égalité proposée :
| 1. \(\operatorname{Re}(z) = -2\) | 3. \(\operatorname{Re}(z) \geqslant 1\) et \(\operatorname{Im}(z) \geqslant 1\) | 5. \(\operatorname{Im}(z^2) = 2\) |
| 2. \(\operatorname{Im}(z) = 1\) | 4. \(\operatorname{Im}(z^2) = 0\) | 6. \(\operatorname{Re}((z-1)^2) = 0\) |
Soit \(z = a + ib\) un nombre complexe et \(\mathrm{M}(z)\) un point du plan complexe \((O;\vec{u};\vec{v})\) d'affixe \(z\).
Le point M' d'affixe \(\bar{z} = a - ib\) est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
Soit \(z = a + ib\) un nombre complexe et M le point du plan complexe
\((O;\vec{u};\vec{v})\) d'affixe \(z\).
On appelle module de \(z\), noté \(|z|\), la distance OM,
i.e. le réel positif tel que :
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
\[z_1 = 3 + 4i \qquad z_2 = 1 - i\]Soient \(z = a + ib\) et \(z'\) deux nombres complexes.
Si \(a\) est un réel, \(|a| = \sqrt{a\bar{a}} = \sqrt{aa} = \sqrt{a^2}\) car \(\bar{a} = a\). La notion de module dans \(\mathbb{C}\) généralise donc celle de valeur absolue dans \(\mathbb{R}\).
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :
\[z_1 = 3 + 4i \qquad z_2 = 1 - i \qquad z_3 = -1+2i \qquad z_4 = -7 \qquad z_5 = 9i\]On pose \(j = \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + i\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\).
Dans le plan complexe, placer les points d'affixe respective \(1,\, \bar{1},\, j,\, \bar{j}\) et \(\bar{\jmath}\).
Dans chacun des cas suivants, déterminer le module du nombre complexe proposé :
\[z_1 = (\sqrt{3}-i)(-1-i) \qquad z_2 = i\!\left(\frac{1+i}{1-i}\right) \qquad z_3 = \left(\frac{-3i}{1+i\sqrt{3}}\right)^{\!2} \qquad z_4 = \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{6}+i\sqrt{2}}\]On retrouve l'expression de l'inverse donnée précédemment :
\[\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}\]Pour tout \(z_1, z_2\) de \(\mathbb{C}\) on a :
En particulier, \(|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| \Longleftrightarrow z_2 = 0\) ou \(\exists\,\alpha \in \mathbb{R}_+\) tel que \(z_1 = \alpha z_2\), i.e. les points d'affixes \(z_1\) et \(z_2\) sont alignés avec l'origine sur une même demi-droite.
L'inégalité triangulaire peut s'interpréter géométriquement de la manière suivante : si \(z\) et \(z'\) représentent les affixes de deux vecteurs \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) alors \(\|\vec{U}+\vec{V}\| \leqslant \|\vec{U}\| + \|\vec{V}\|\). Le cas d'égalité correspond au cas où \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) sont colinéaires de même sens.
Pour toute famille \(z_1, z_2, \ldots, z_n\) de nombres complexes, on a :
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\). On appelle fonction de la variable réelle à valeurs complexes toute application :
\[f : I \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C},\quad x \longmapsto f(x)\]La variable \(x\) est réelle ; c'est uniquement la valeur \(f(x)\) qui est complexe.
Tout complexe s'écrit \(z = a + ib\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\). Donc toute fonction \(f : I \to \mathbb{C}\) s'écrit :
\[f(x) = a(x) + i\,b(x)\]où \(a = \operatorname{Re}(f) : I \to \mathbb{R}\) et \(b = \operatorname{Im}(f) : I \to \mathbb{R}\) sont deux fonctions réelles. Autrement dit, une fonction à valeurs complexes revient à deux fonctions réelles.
On peut identifier \(f(x) = a(x) + ib(x)\) au point \((a(x),\, b(x))\) du plan, ce qui fait de \(f\) une courbe paramétrée dans \(\mathbb{C}\).
Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), la formule d'Euler donne :
\[f(x) = e^{ix} = \cos x + i\sin x\]Ici \(\operatorname{Re}(f)(x) = \cos x\) et \(\operatorname{Im}(f)(x) = \sin x\). Quand \(x\) varie dans \(\mathbb{R}\), le point \((\cos x, \sin x)\) décrit le cercle trigonométrique — c'est une courbe paramétrée.
Soient I un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \mapsto \mathbb{C}\) une fonction de la variable réelle à valeurs complexes. On définit les fonctions :
On a alors :
\[f :\; I \longrightarrow \mathbb{C},\quad x \longmapsto \operatorname{Re}(f)(x) + i\,\operatorname{Im}(f)(x)\]On peut également définir les fonctions \(\bar{f}\) et \(|f|\) par leurs valeurs sur I : \(\forall x \in I\),
On retrouve alors les formules, dites d'Euler :
\[\operatorname{Re}(f) = \frac{f + \bar{f}}{2} \qquad\qquad \operatorname{Im}(f) = \frac{f - \bar{f}}{2i}\]Ces deux écritures donnent le même nombre, mais ne décrivent pas la même opération :
Le même raisonnement vaut pour \(\operatorname{Im}\) et le module :
| Écriture | Nature | Exemple avec \(f(x)=e^{ix}\) |
|---|---|---|
| \(\operatorname{Re}(f(x))\) | nombre réel | \(\cos x\) |
| \(\operatorname{Re}(f)\) | fonction \(I\to\mathbb{R}\) | \(x\mapsto\cos x\) |
| \(\operatorname{Re}(f)(x)\) | valeur de cette fonction | \(\cos x\) |
| \(|f(x)|\) | nombre réel \(\geq 0\) | \(1\) |
| \(|f|\) | fonction \(I\to\mathbb{R}_+\) | \(x\mapsto 1\) |
En résumé : \(f = \operatorname{Re}(f) + i\,\operatorname{Im}(f)\) signifie que toute fonction complexe est un couple de fonctions réelles.
Soit \(f : x \mapsto \sin x + i(x^2 - 1)\). Définir les fonctions \(\operatorname{Re}(f)\), \(\operatorname{Im}(f)\), \(\bar{f}\) et \(|f|\).
On lit directement sur l'écriture \(f(x) = \sin x + i(x^2-1)\) que la partie réelle est \(\sin x\) et la partie imaginaire est \(x^2 - 1\). On en déduit :
Partie réelle. \(\operatorname{Re}(f)\) est la fonction \(I \to \mathbb{R}\) définie par : \[\operatorname{Re}(f) : x \longmapsto \operatorname{Re}(f(x)) = \sin x.\] Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\operatorname{Re}(f)(x) = \sin x\).
Partie imaginaire. \(\operatorname{Im}(f)\) est la fonction \(I \to \mathbb{R}\) définie par : \[\operatorname{Im}(f) : x \longmapsto \operatorname{Im}(f(x)) = x^2 - 1.\] Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\operatorname{Im}(f)(x) = x^2 - 1\).
Conjuguée. \(\bar{f}\) est la fonction \(I \to \mathbb{C}\) définie par : \[\bar{f} : x \longmapsto \overline{f(x)} = \sin x - i(x^2-1).\] On obtient \(\bar{f}\) en changeant le signe de la partie imaginaire.
Module. \(|f|\) est la fonction \(I \to \mathbb{R}_+\) définie par : \[|f| : x \longmapsto |f(x)| = \sqrt{\sin^2 x + (x^2-1)^2}.\] On applique la formule \(|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}\) avec \(a = \sin x\) et \(b = x^2-1\).
Soient I un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \mapsto \mathbb{C}\) une fonction de la variable réelle à valeurs complexes.
Soient I un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \mapsto \mathbb{C}\) une fonction
de la variable réelle à valeurs complexes.
\(f\) est dérivable sur I si et seulement si \(\operatorname{Re}(f)\) et
\(\operatorname{Im}(f)\) le sont et on a :
Autrement dit \(\quad \operatorname{Re}(f') = (\operatorname{Re}(f))'\quad\) et \(\quad \operatorname{Im}(f') = (\operatorname{Im}(f))'.\)
La fonction \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C},\quad x \longmapsto \sin(x) + ie^x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(f'(x) = \cos(x) + ie^x\).
Montrer que la fonction \(f : x \longmapsto \sin x + i(x^2-1)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f'\).
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions à valeurs complexes définies sur un intervalle \(I \subset \mathbb{R}\). Alors, pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), les fonctions \(\lambda f + \mu g\), \(fg\) et \(\dfrac{f}{g}\), si \(g\) ne s'annule pas sur I, sont dérivables sur I et on a :
\[(\lambda f + g)' = \lambda f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg' \qquad \text{et} \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.\]Soit la fonction \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C},\quad \theta \longmapsto \cos(\theta) + i\sin(\theta)\).
Conclusion : \(\forall \theta \in \mathbb{R},\quad
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\).
Cette notation est due à Euler à qui on doit la magnifique relation du même nom pour
\(\theta = \pi\), \(e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1\).
Autrement écrit :
Bien que l'on ait pris la même notation que pour l'exponentielle réelle, ce n'est pas la même définition. Nous allons vérifier dans la proposition qui suit que cette confusion des notations est valide car l'exponentielle complexe va vérifier les mêmes propriétés et étendre la définition de l'exponentielle réelle.
Soient \(\theta, \theta' \in \mathbb{R}\). Alors :
On récupère ainsi comme annoncé toutes les propriétés de l'exponentielle réelle.
Par définition de l'exponentielle sur \(i\mathbb{R}\) (Définition 4), pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) :
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.\]On applique cette définition à \(\theta = \pi\) :
\[e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + i \cdot 0 = -1.\]On obtient donc \(e^{i\pi} = -1\), soit :
\[e^{i\pi} + 1 = 0.\] ■Sous son apparente simplicité, cette formule est considérée comme l'une des plus belles des mathématiques. En effet, bien que très compacte, elle relie différentes branches des mathématiques : l'arithmétique (avec les constantes 0 et 1), la géométrie (\(\pi\)), l'algèbre (\(i\)) et l'analyse (\(e\)).
On note \(\mathbb{U}\) l'ensemble des nombres complexes de module 1 :
\[\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C}\;/\;|z| = 1\}.\]Géométriquement, dans le plan complexe, les points d'affixes appartenant à \(\mathbb{U}\) forment le cercle trigonométrique, c'est-à-dire le cercle de centre O et de rayon 1.
Conséquence immédiate : \(\forall \theta \in \mathbb{R},\; e^{i\theta} \in \mathbb{U}.\)
Si c'était au programme, on dirait que \((\mathbb{U}, \times)\) est un groupe commutatif, car il possède un élément neutre et est stable par multiplication et passage à l'inverse.
Démontrer que \(\forall z \in \mathbb{C}\setminus\{1\},\quad \dfrac{1+z}{1-z} \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow z \in \mathbb{U}.\)
Plus particulièrement, tout nombre complexe de module 1 peut
s'écrire \(e^{i\theta}\) où \(\theta \in \mathbb{R}\).
Le réel \(\theta\) est, de plus, unique si on impose \(\theta \in\, ]-\pi;\pi]\).
On montre la double inclusion \(\{e^{i\theta},\, \theta \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{U}\) et \(\mathbb{U} \subset \{e^{i\theta},\, \theta \in \mathbb{R}\}\).
(\(\supset\)) Tout \(e^{i\theta}\) est dans \(\mathbb{U}\). Par définition, \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), donc : \[\left|e^{i\theta}\right|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.\] Ainsi \(|e^{i\theta}| = 1\), ce qui signifie \(e^{i\theta} \in \mathbb{U}\). \(\checkmark\)
(\(\subset\)) Tout \(z \in \mathbb{U}\) s'écrit \(e^{i\theta}\).
Soit \(z \in \mathbb{U}\), i.e. \(z \in \mathbb{C}\) avec \(|z| = 1\).
On pose \(z = x + iy\) avec \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) et \(x^2 + y^2 = 1\).
Le point \((x, y)\) est sur le cercle trigonométrique, donc il existe
\(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(x = \cos\theta\) et \(y = \sin\theta\).
On a alors :
\[z = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}. \checkmark\]
Unicité pour \(\theta \in\, ]-\pi;\pi]\). Si \(e^{i\theta} = e^{i\theta'}\), alors \(\cos\theta = \cos\theta'\) et \(\sin\theta = \sin\theta'\), ce qui entraîne \(\theta \equiv \theta'\, [2\pi]\) (Prop. 9). En imposant \(\theta, \theta' \in\, ]-\pi;\pi]\), le seul multiple de \(2\pi\) dans \(]-2\pi; 2\pi]\) est \(0\), donc \(\theta = \theta'\). \(\checkmark\)
■Soit \(z \in \mathbb{C}^*\). On pose \(r = |z| > 0\) et \(u = \dfrac{z}{r}\), de sorte que \(|u| = \dfrac{|z|}{r} = 1\). Ainsi \(u \in \mathbb{U}\), et par le Théorème 8 il existe \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(u = e^{i\theta}\). On obtient donc : \[z = r\,u = r\,e^{i\theta}.\]
Unicité de \(r\). Si \(z = r e^{i\theta} = r' e^{i\theta'}\), alors \(|z| = r|e^{i\theta}| = r \cdot 1 = r\), donc \(r = |z|\) est uniquement déterminé. \(\checkmark\)
Unicité de \(\theta\) modulo \(2\pi\). Si \(re^{i\theta} = re^{i\theta'}\) (même \(r > 0\)), alors \(e^{i\theta} = e^{i\theta'}\), ce qui implique \(\theta \equiv \theta'\; [2\pi]\) par la Proposition 9 (unicité de l'argument). \(\checkmark\)
■Soit \(z\) un nombre complexe non nul.
Soit \(z\) un complexe non nul de module \(r = |z| > 0\) et d'argument \(\theta\), de sorte que \(z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
Caractérisation de \(\mathbb{R}\). \[z \in \mathbb{R} \iff \operatorname{Im}(z) = 0 \iff r\sin\theta = 0 \iff \sin\theta = 0 \quad (r > 0) \iff \theta \equiv 0\text{ ou }\pi\; [2\pi] \iff \theta \equiv 0\; [\pi].\]
Caractérisation de \(i\mathbb{R}\). \[z \in i\mathbb{R} \iff \operatorname{Re}(z) = 0 \iff r\cos\theta = 0 \iff \cos\theta = 0 \quad (r > 0) \iff \theta \equiv \pm\frac{\pi}{2}\; [2\pi] \iff \theta \equiv \frac{\pi}{2}\; [\pi].\]
■Différentes écritures du nombre complexe \(1 + i\sqrt{3}\) :
| Forme exponentielle | Forme trigonométrique | Forme algébrique |
|---|---|---|
| \(2e^{i\frac{\pi}{3}}\) | \(2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) | \(1 + i\sqrt{3}\) |
Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :
\[z_1 = 5\!\left(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\right) \qquad z_2 = \cos(\pi) + i\sin(\pi)\]Autrement dit, deux nombres complexes sous forme exponentielle sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument modulo \(2\pi\).
Soient \(z, z' \in \mathbb{C}^*\). On écrit leurs formes exponentielles \(z = re^{i\theta}\) et \(z' = r'e^{i\theta'}\) avec \(r = |z|\), \(r' = |z'|\).
\((\Rightarrow)\) Si \(z = z'\), alors \(|z| = |z'|\) (le module est bien défini) et \(\dfrac{z}{|z|} = \dfrac{z'}{|z'|}\), soit \(e^{i\theta} = e^{i\theta'}\), d'où \(\theta \equiv \theta'\; [2\pi]\) (Prop. 9). \(\checkmark\)
\((\Leftarrow)\) Si \(|z| = |z'|\) et \(\theta \equiv \theta'\; [2\pi]\), alors \(r = r'\) et \(e^{i\theta} = e^{i\theta'}\), donc \(z = re^{i\theta} = r'e^{i\theta'} = z'\). \(\checkmark\)
■Soient \(z = re^{i\theta}\) et \(z' = r'e^{i\theta'}\) deux nombres complexes sous leur forme exponentielle avec \(r, r' \neq 0\) et \(n\) un nombre entier :
Soient \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes non nuls.
En reprenant les nombres \(z_1\) et \(z_2\) de l'exercice précédent, on obtient, sans calculs :
Il suffit de remarquer que \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\). D'où :
\[e^{i\frac{\pi}{12}} = e^{i\frac{\pi}{3}}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\] \[\cos\!\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\!\left(\frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\,\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\]Par identification des parties réelles et imaginaires, on trouve :
\[\cos\!\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \qquad\text{et}\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\]Commençons par réécrire une des assertions du Théorème 1 :
\[\forall z \in \mathbb{C},\quad \operatorname{Re}(z) = \frac{z+\bar{z}}{2} \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Im}(z) = \frac{z-\bar{z}}{2i}\]Soient \(\theta\) un nombre réel et \(n\) un entier.
On réécrit l'énoncé en notation exponentielle : \(\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}\), donc la formule à démontrer est \(\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\).
On distingue trois cas selon le signe de \(n\).
Cas \(n \geq 0\) — récurrence.
Initialisation (\(n=0\)). \(\left(e^{i\theta}\right)^0 = 1 = e^0 = e^{i \cdot 0 \cdot \theta}\). \(\checkmark\)
Hérédité. Supposons \(\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\) pour un \(n \geq 0\). Alors : \[\left(e^{i\theta}\right)^{n+1} = \left(e^{i\theta}\right)^n \cdot e^{i\theta} = e^{in\theta} \cdot e^{i\theta} = e^{i(n+1)\theta},\] où l'on a utilisé la propriété de morphisme (Thm. 12). \(\checkmark\)
Cas \(n \leq -1\). On pose \(m = -n \geq 1\). D'après le cas positif, \(\left(e^{i\theta}\right)^m = e^{im\theta}\), et \(e^{i\theta} \neq 0\), donc : \[\left(e^{i\theta}\right)^n = \frac{1}{\left(e^{i\theta}\right)^m} = \frac{1}{e^{im\theta}} = e^{-im\theta} = e^{in\theta}. \checkmark\]
■À l'aide des formules de Moivre, on peut retrouver les formules de duplication de
\(\cos 2\theta\) et \(\sin 2\theta\) : d'une part,
\((\cos(\theta)+i\sin(\theta))^2 = \cos(2\theta)+i\sin(2\theta)\).
D'autre part, en développant,
\((\cos(\theta)+i\sin(\theta))^2 = (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) + 2i\cos(\theta)\sin(\theta)\).
En identifiant parties réelles et imaginaires, on obtient :
Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a :
\[\begin{array}{ll} \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) &\quad \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\\[4pt] \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) &\quad \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b) \end{array}\]Linéariser \(\cos^5(x)\) et \(\cos^2(x)\sin^3(x)\).
Pour factoriser une expression du type \(e^{i\theta} + e^{i\theta'}\) :
Factoriser les expressions suivantes :
Soient \(p\) et \(q\) deux réels :
\[\cos(p) + \cos(q) = 2\cos\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)\] \[\cos(p) - \cos(q) = -2\sin\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\frac{p-q}{2}\right)\] \[\sin(p) + \sin(q) = 2\sin\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)\] \[\sin(p) - \sin(q) = 2\sin\!\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\]Mettre \(e^{i\frac{\pi}{4}} + e^{i\frac{\pi}{3}}\) sous forme exponentielle.
Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(t \in \mathbb{R}\setminus 2\pi\mathbb{Z}\). On pose : \[A_n(t) = \sum_{k=-n}^{n} e^{ikt} \qquad\text{et}\qquad B_n(t) = \sum_{k=0}^{n} A_k(t).\] Montrer que \(A_n(t) = \dfrac{\sin\frac{(2n+1)t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\) et \(B_n(t) = \left(\dfrac{\sin\frac{(n+1)t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^{\!2}\).
Exprimer \(\cos(6x)\) en fonction de \(\cos(x)\).
Si \((a;b) \in \mathbb{R}^2\setminus\{(0;0)\}\) et \(\omega\) un réel, il existe \((A;\varphi) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}\) tel que pour tout \(t \in \mathbb{R}\),
Avec
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), simplifier l'expression \(\sqrt{2}\cos(\theta) + \sqrt{6}\sin(\theta)\).
Pour tout nombre complexe \(z\), on appelle exponentielle de \(z\), notée \(\exp(z)\) ou \(e^z\), le nombre défini par :
Si \(z\) est réel ou imaginaire pur, on retrouve respectivement l'exponentielle réelle et l'exponentielle définie sur les imaginaires purs au paragraphe III. Cette définition prolonge donc ces deux définitions. En particulier, si \(z \in i\mathbb{R}\) alors \(e^z \in \mathbb{U}\).
La fonction exponentielle \(\exp : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C},\; z \longmapsto e^z\) ainsi définie :
Soit \((z;z') \in \mathbb{C}^2\).
On pose \(z = x + iy\) et \(z' = x' + iy'\) avec \((x,y,x',y') \in \mathbb{R}^4\). Par définition de l'exponentielle complexe :
\[e^z \cdot e^{z'} = e^x(\cos y + i\sin y)\cdot e^{x'}(\cos y' + i\sin y') = e^{x+x'}(\cos y + i\sin y)(\cos y' + i\sin y').\]On développe le produit des facteurs trigonométriques et on applique les formules d'addition (Prop. 14) :
\[(\cos y + i\sin y)(\cos y' + i\sin y') = (\cos y\cos y' - \sin y\sin y') + i(\sin y\cos y' + \cos y\sin y') = \cos(y+y') + i\sin(y+y').\]D'où :
\[e^z \cdot e^{z'} = e^{x+x'}\bigl(\cos(y+y') + i\sin(y+y')\bigr) = e^{(x+x')+i(y+y')} = e^{z+z'}. \checkmark\] ■Soit \(z \in \mathbb{C}\).
\(^{[1]}\; (a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\)
Soit \((z;z') \in \mathbb{C}^2\).
On pose \(z = x+iy\) et \(z' = x'+iy'\) avec \((x,y,x',y') \in \mathbb{R}^4\). Par définition, \(e^z = e^x(\cos y + i\sin y)\) et \(e^{z'} = e^{x'}(\cos y' + i\sin y')\).
\((\Rightarrow)\) Supposons \(e^z = e^{z'}\). En prenant les modules : \[|e^z| = |e^{z'}| \implies e^x = e^{x'} \implies x = x'.\] Il reste donc \(e^x(\cos y + i\sin y) = e^x(\cos y' + i\sin y')\), soit \(e^{iy} = e^{iy'}\). Par la Prop. 9 (unicité de l'argument modulo \(2\pi\)) : \(y \equiv y'\; [2\pi]\). \(\checkmark\)
\((\Leftarrow)\) Supposons \(x = x'\) et \(y \equiv y'\; [2\pi]\). Alors \(e^x = e^{x'}\) et \(\cos y = \cos y'\), \(\sin y = \sin y'\), donc \(e^z = e^{z'}\). \(\checkmark\)
■Soit \(\omega \in \mathbb{C}\) un nombre complexe.
On cherche \(z = x + iy \in \mathbb{C}\) tel que \(e^z = \omega\), avec \(x, y \in \mathbb{R}\).
Cas \(\omega = 0\). Pour tout \(z \in \mathbb{C}\), \(e^z = e^x(\cos y + i\sin y)\) avec \(e^x > 0\), donc \(|e^z| = e^x > 0\). Ainsi \(e^z \neq 0\) : pas de solution. \(\checkmark\)
Cas \(\omega \neq 0\). On prend les modules : \[|e^z| = |\omega| \implies e^x = |\omega| \implies x = \ln|\omega|.\] Il reste \(e^{iy} = \dfrac{\omega}{|\omega|} = e^{i\arg\omega}\), d'où par la Prop. 9 : \[y \equiv \arg(\omega)\; [2\pi].\] L'ensemble des solutions est donc : \[z = \ln|\omega| + i\bigl(\arg(\omega) + 2k\pi\bigr),\quad k \in \mathbb{Z}.\] C'est bien une infinité de solutions. \(\checkmark\)
■Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(e^z = 2 + i\).
Transcript complet des pages 3–22 — L. Ivarra · Lycée Jules Garnier · PTSI Vinci · 2026.
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