La Proportionnalité — Des bases aux notions avancées

🔴 Fil rouge du chapitre

Une seule idée traverse tout ce cours : deux grandeurs sont proportionnelles quand leur quotient est constant. Nous allons voir cette idée changer de costume — tableau de nombres, droite par l'origine, fonction \(x \mapsto ax\), rapport de Thalès, radian, dérivée — sans jamais changer de nature. À chaque étape, demandez-vous : où est le quotient constant ?

I — Définition et reconnaissance

Définition 1 — Grandeurs proportionnelles, coefficient de proportionnalité

Deux listes de nombres non nuls \((x_1, x_2, \dots)\) et \((y_1, y_2, \dots)\) sont proportionnelles lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que \[y_i = k\, x_i \quad \text{pour tout } i.\] Le nombre \(k\) est le coefficient de proportionnalité. De façon équivalente, tous les quotients \(\dfrac{y_i}{x_i}\) sont égaux (à \(k\)).

La proportionnalité, c'est l'hypothèse la plus simple qu'on puisse faire sur un lien entre deux grandeurs : « deux fois plus de l'une, deux fois plus de l'autre ». C'est le premier modèle que l'humanité ait inventé pour prédire — le prix de 5 kg à partir du prix de 1 kg. Toute la suite du cours consiste à comprendre jusqu'où ce modèle porte, et où il casse.

Exemple — Les cerises du marché

Au marché, les cerises coûtent \(800\) F le kilogramme.

Masse (kg)	\(1\)	\(2\)	\(3{,}5\)	\(5\)
Prix (F)	\(800\)	\(1600\)	\(2800\)	\(4000\)

Chaque quotient prix/masse vaut \(800\) : le tableau est un tableau de proportionnalité, de coefficient \(k = 800\) F/kg. Ce tableau nous servira de fil rouge numérique dans les sections suivantes.

Beaucoup de situations ressemblent à de la proportionnalité sans en être. Contre-exemples à garder en tête :

l'âge et la taille d'un enfant (\(85\) cm à \(2\) ans, mais pas \(850\) cm à \(20\) ans) ;
un tarif avec frais fixes (\(y = 500 + 200x\) : relation affine, pas proportionnelle) ;
le côté et l'aire d'un carré (\(y = x^2\) : le quotient \(y/x = x\) n'est pas constant).

Le premier réflexe face à un tableau : calculer tous les quotients et vérifier qu'ils sont égaux.

II — Les propriétés fondamentales et le produit en croix

Proposition 1 — Additivité et homogénéité démontré

Si les couples \((x, y)\) et \((x', y')\) appartiennent à une même situation de proportionnalité de coefficient \(k\), alors :

additivité : le couple \((x + x',\; y + y')\) lui appartient aussi ;
homogénéité : pour tout réel \(\lambda\), le couple \((\lambda x,\; \lambda y)\) lui appartient aussi.

Preuve. Par hypothèse \(y = kx\) et \(y' = kx'\). En additionnant membre à membre, \(y + y' = kx + kx' = k(x + x')\) par distributivité : le couple somme vérifie bien la relation de proportionnalité. De même, \(\lambda y = \lambda (kx) = k(\lambda x)\) par associativité et commutativité de la multiplication dans \(\mathbb{R}\). ∎

Ces deux propriétés sont ce qui rend la proportionnalité calculable sans connaître le coefficient. Si 3 kg coûtent 2400 F et 5 kg coûtent 4000 F, alors 8 kg coûtent 6400 F (additivité) et 30 kg coûtent 24 000 F (homogénéité par 10) — aucun besoin de repasser par le prix au kilo. Retenez bien la paire (additivité, homogénéité) : elle réapparaîtra en section IX sous le nom de linéarité, et deviendra alors le pilier de l'algèbre linéaire.

Théorème 1 — Produit en croix et quatrième proportionnelle démontré

Soient \(a, b, c, d\) des réels avec \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\). Le tableau \[\begin{array}{|c|c|}\hline a & c \\\hline b & d \\\hline\end{array}\] est un tableau de proportionnalité si et seulement si \[a\,d = b\,c.\] En particulier, trois valeurs étant connues, la quatrième — la quatrième proportionnelle — vaut \(d = \dfrac{b\,c}{a}\).

Preuve. Le tableau est un tableau de proportionnalité si et seulement si les quotients colonnes sont égaux, c'est-à-dire \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}\) lorsque \(c \neq 0\). En multipliant les deux membres par \(ac \neq 0\), cette égalité équivaut à \(bc = ad\). Si \(c = 0\), la proportionnalité \(d = \frac{b}{a}\,c\) impose \(d = 0\), et réciproquement l'égalité \(ad = bc\) donne \(ad = 0\) donc \(d = 0\) puisque \(a \neq 0\) : l'équivalence subsiste. La formule de la quatrième proportionnelle s'obtient en divisant \(ad = bc\) par \(a\). ∎

III — Représentation graphique et fonction linéaire

Théorème 2 — Caractérisation graphique démontré

Dans un repère, une famille de points \((x_i, y_i)\) avec des abscisses non toutes égales représente une situation de proportionnalité si et seulement si les points sont alignés sur une droite passant par l'origine.

Preuve. Si \(y_i = k x_i\) pour tout \(i\), alors chaque point appartient à l'ensemble \(\{(x, kx) : x \in \mathbb{R}\}\), qui est la droite d'équation \(y = kx\) : elle passe par l'origine (prendre \(x = 0\)) et sa pente vaut \(k\). Réciproquement, une droite passant par l'origine et non verticale a une équation de la forme \(y = kx\) ; si tous les points la vérifient, alors \(y_i = k x_i\) pour tout \(i\), ce qui est la définition de la proportionnalité. Le cas d'une droite verticale est exclu par l'hypothèse d'abscisses non toutes égales. ∎

Les deux conditions sont indispensables, et chacune élimine un imposteur classique :

points alignés mais droite ne passant pas par l'origine : relation affine \(y = ax + b\) avec \(b \neq 0\) (abonnement à frais fixes) — pas proportionnelle ;
courbe passant par l'origine mais non rectiligne : \(y = x^2\) — pas proportionnelle.

Définition 2 — Fonction linéaire

Soit \(a \in \mathbb{R}\). La fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[f(x) = a\,x\] est appelée fonction linéaire de coefficient \(a\). Sa représentation graphique est la droite d'équation \(y = ax\), de pente \(a\), passant par l'origine.

Passer du tableau à la fonction est un changement de point de vue décisif : au lieu d'une liste finie de valeurs, on dispose d'une machine qui associe à n'importe quel réel \(x\) son image \(ax\). La proportionnalité cesse d'être une propriété de données pour devenir un objet mathématique qu'on peut composer, dériver, généraliser. C'est le mouvement typique des mathématiques : transformer une régularité observée en objet manipulable.

🔴 Fil rouge — Les cerises deviennent une fonction

Le tableau des cerises se résume désormais en une ligne : \(f(x) = 800\,x\), où \(x\) est la masse en kg et \(f(x)\) le prix en F. Le graphique est la droite de pente \(800\) passant par l'origine : « zéro cerise, zéro franc » — c'est exactement ce que dit le passage par l'origine.

IV — Applications : pourcentages, échelles, vitesse

IV.1 Pourcentages et coefficient multiplicateur

Définition 3 — Pourcentage, coefficient multiplicateur

Prendre \(t\ \%\) d'une quantité, c'est la multiplier par \(\dfrac{t}{100}\). Appliquer une évolution de \(t\ \%\), c'est multiplier par le coefficient multiplicateur \[C = 1 + \frac{t}{100},\] où \(t > 0\) pour une hausse et \(t < 0\) pour une baisse.

IV.2 Échelles

IV.3 Vitesse moyenne

V — Proportionnalité géométrique : Thalès, aires et volumes

Jusqu'ici la proportionnalité reliait des grandeurs de natures différentes (masse et prix, distance et durée). Thalès affirme quelque chose de plus subtil : quand on agrandit une figure, toutes ses longueurs entre elles restent proportionnelles. Une photocopie à 150 % ne déforme rien — elle multiplie tout par le même rapport. C'est la proportionnalité interne à la géométrie.

Remarque — Pourquoi « admis » ici

La démonstration rigoureuse de Thalès repose soit sur un calcul d'aires de triangles, soit sur la structure vectorielle du plan (colinéarité et homothéties). Ces outils seront disponibles au chapitre de géométrie du plan ; le résultat sera alors démontré et le badge mis à jour. En attendant, on l'utilise comme les Grecs l'utilisaient : comme un fait d'expérience géométrique d'une solidité totale.

Remarque — Statut logique

Le résultat se démontre immédiatement pour les rectangles (l'aire \(L \times \ell\) devient \(kL \times k\ell = k^2 L\ell\)) et les pavés, puis s'étend aux figures générales par découpage et passage à la limite — argument qui relève de la théorie de la mesure, hors de portée pour l'instant. On l'admet dans le cas général, en retenant que le cas rectangulaire, lui, est une simple identité algébrique.

Exemple — Le piège de la pizza

Une pizza de \(30\) cm de diamètre n'est pas \(1{,}5\) fois plus grande qu'une pizza de \(20\) cm : sa surface est \((1{,}5)^2 = 2{,}25\) fois plus grande. L'aire n'est pas proportionnelle à la longueur, elle est proportionnelle au carré de la longueur — premier exemple de proportionnalité entre grandeurs transformées, idée généralisée en section IX.

VI — Le cercle trigonométrique : arcs, secteurs et radians

Découpez une tarte : la part de celui qui a un angle deux fois plus grand est deux fois plus grosse, et la croûte de sa part (l'arc) est deux fois plus longue. Personne n'en doute — et pourtant c'est un vrai théorème : dans un disque donné, l'arc et l'aire du secteur sont proportionnels à l'angle au centre. Toute la trigonométrie moderne, jusqu'à la dérivée de sinus, sort de cette évidence de pâtissier.

Définition 6 — Secteur angulaire (secteur circulaire)

Dans un disque de centre \(O\) et de rayon \(r\), le secteur angulaire d'angle au centre \(\alpha\) est la portion du disque délimitée par deux rayons formant l'angle \(\alpha\) — la « part de tarte ». Sa frontière courbe est l'arc intercepté par l'angle.

Théorème 5 — Proportionnalité à l'angle au centre admis

Dans un disque de rayon \(r\) fixé, la longueur de l'arc et l'aire du secteur sont proportionnelles à l'angle au centre. Comme l'angle plein (\(360°\)) correspond au périmètre \(2\pi r\) et à l'aire \(\pi r^2\), on obtient pour un angle de \(\alpha\) degrés : \[\ell_{\text{arc}} = 2\pi r \times \frac{\alpha}{360}, \qquad A_{\text{secteur}} = \pi r^2 \times \frac{\alpha}{360}.\]

Remarque — Pourquoi « admis »

L'intuition repose sur deux faits : l'additivité (deux secteurs accolés ont pour aire la somme des aires — vrai par additivité de l'aire) et l'invariance par rotation (deux secteurs de même angle sont superposables, donc de même aire). Pour les angles de la forme \(\frac{360°}{n}\) et leurs multiples, ces deux faits donnent directement la proportionnalité par découpage du disque en \(n\) parts égales. L'extension à un angle quelconque exige un passage à la limite (continuité de la mesure d'aire), qui relève du chapitre d'intégration à venir. C'est le seul maillon admis de cette section — tout le reste s'en déduit.

VI.1 La naissance du radian

Puisque l'arc est proportionnel à l'angle, pourquoi ne pas mesurer l'angle par l'arc qu'il découpe ? Le degré est une convention babylonienne (360 parce que c'est presque le nombre de jours de l'année) ; le radian, lui, est dicté par le cercle. C'est l'unité qui rend le coefficient de proportionnalité arc–angle égal à \(1\) : la proportionnalité devient invisible, et c'est précisément ce qui rendra les formules belles.

Définition 7 — Cercle trigonométrique, radian

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (anti-horaire). Un angle mesure \(\theta\) radians lorsqu'il intercepte sur ce cercle un arc de longueur \(\theta\). Ainsi :

tour complet : \(2\pi\) rad (le périmètre du cercle unité) ;
demi-tour : \(\pi\) rad \(= 180°\) ;
quart de tour : \(\dfrac{\pi}{2}\) rad \(= 90°\).

La conversion degrés–radians est elle-même une proportionnalité, de coefficient \(\dfrac{\pi}{180}\).

VI.2 L'aire du secteur dans le cercle trigonométrique

Théorème 6 — Aire du secteur en radians démontré (à partir du Théorème 5 admis)

Dans le cercle trigonométrique, le secteur d'angle \(\theta \in [0, 2\pi]\) a pour aire \[A = \frac{\theta}{2}.\] Plus généralement, dans un disque de rayon \(r\), \[A = \frac{\theta\, r^2}{2}.\]

Preuve. D'après le Théorème 5, l'aire du secteur est proportionnelle à l'angle. Dressons le tableau de proportionnalité dans le disque unité : à l'angle plein \(2\pi\) correspond l'aire totale \(\pi \times 1^2 = \pi\) ; à l'angle \(\theta\) correspond donc, par quatrième proportionnelle (Théorème 1), \[A = \pi \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\theta}{2}.\] Pour un rayon \(r\) quelconque, le disque de rayon \(r\) est l'image du disque unité par un agrandissement de rapport \(r\), qui multiplie les aires par \(r^2\) (Théorème 4) : \(A = \dfrac{\theta}{2} \times r^2\). On vérifie sur le quart de disque unité : \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) donne \(A = \dfrac{\pi}{4}\), qui est bien le quart de l'aire \(\pi\) du disque. ∎

Remarque — Le dividende du radian

Comparez \(A = \pi r^2 \dfrac{\alpha}{360}\) (degrés) et \(A = \dfrac{\theta r^2}{2}\) (radians) : la seconde formule est débarrassée de toute constante parasite. C'est un phénomène général — longueur d'arc \(\ell = r\theta\), dérivées trigonométriques, développements limités : toutes les formules de l'analyse supposent l'angle en radians, et c'est le choix du radian comme « unité de la proportionnalité arc–angle » qui les rend simples.

VI.3 Le couronnement : la limite fondamentale \(\dfrac{\sin\theta}{\theta} \to 1\)

Voici pourquoi cette aire de secteur n'est pas une simple curiosité. Regardez un tout petit angle \(\theta\) sur le cercle unité : la hauteur \(\sin\theta\), l'arc \(\theta\) et la tangente \(\tan\theta\) deviennent presque indiscernables. « Presque indiscernables », en mathématiques, cela se prouve par un encadrement — et l'encadrement va venir des aires : le secteur est coincé entre deux triangles. C'est la proportionnalité aire–angle qui va fournir le terme du milieu.

Théorème 7 — Limite fondamentale de la trigonométrie démontré (à partir du Théorème 5 admis)

\[\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1.\] Autrement dit : au voisinage de \(0\), \(\sin\theta\) est « proportionnel » à \(\theta\) avec un coefficient \(1\) — à condition que \(\theta\) soit en radians.

Preuve (pour \(\theta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[\), le cas \(\theta < 0\) s'en déduisant par parité de \(\frac{\sin\theta}{\theta}\)). Plaçons-nous sur le cercle trigonométrique, avec \(A(1,0)\), \(M\) le point du cercle d'angle \(\theta\), et \(T\) l'intersection de la droite \((OM)\) avec la verticale \(x = 1\). Le triangle \(OAM\) est contenu dans le secteur \(OAM\), lui-même contenu dans le triangle rectangle \(OAT\) : trois régions emboîtées, donc trois aires ordonnées.

Le triangle \(OAM\) a pour base \(OA = 1\) et pour hauteur l'ordonnée de \(M\), c'est-à-dire \(\sin\theta\) : son aire vaut \(\dfrac{\sin\theta}{2}\). Le secteur a pour aire \(\dfrac{\theta}{2}\) par le Théorème 6. Le triangle \(OAT\) a pour base \(OA = 1\) et pour hauteur \(AT = \tan\theta\) (car dans le triangle rectangle en \(A\), \(\tan\theta = \frac{AT}{OA}\)) : son aire vaut \(\dfrac{\tan\theta}{2}\). L'inclusion des régions donne donc \[\frac{\sin\theta}{2} \;\leq\; \frac{\theta}{2} \;\leq\; \frac{\tan\theta}{2}, \qquad \text{soit} \qquad \sin\theta \leq \theta \leq \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.\] Comme \(\sin\theta > 0\) sur l'intervalle considéré, on peut diviser la double inégalité par \(\sin\theta\) puis passer aux inverses (tous les termes sont strictement positifs, le sens s'inverse) : \[\cos\theta \;\leq\; \frac{\sin\theta}{\theta} \;\leq\; 1.\] Lorsque \(\theta \to 0\), \(\cos\theta \to 1\) par continuité du cosinus en \(0\). Le quotient \(\dfrac{\sin\theta}{\theta}\) est coincé entre deux quantités qui tendent vers \(1\) : par le théorème d'encadrement (« gendarmes »), il tend vers \(1\). ∎

Remarque — Dépendances de la preuve

Cette démonstration mobilise trois ingrédients dont il faut être lucide : la proportionnalité aire–angle (Théorème 5, admis — c'est le seul maillon non démontré de la chaîne), la continuité de \(\cos\) en \(0\) (immédiate géométriquement : quand \(M \to A\), l'abscisse de \(M\) tend vers \(1\)), et le théorème d'encadrement (démontré au chapitre sur les limites). C'est cette limite qui fournira \(\sin'(0) = 1\), puis \(\sin' = \cos\) — toute la dérivation trigonométrique repose sur l'aire de la part de tarte.

La limite \(\dfrac{\sin\theta}{\theta} \to 1\) est fausse en degrés : si \(\theta\) est mesuré en degrés, la limite vaut \(\dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}0175\). La « magie » du résultat est entièrement contenue dans le choix du radian, c'est-à-dire dans la décision de mesurer l'angle par l'arc. Moralité : en analyse, les angles sont toujours en radians.

🔴 Fil rouge — Le quotient constant, version cercle

Où est le quotient constant dans cette section ? Partout : \(\dfrac{\text{arc}}{\text{angle}}\) est constant (et vaut \(1\) en radians sur le cercle unité), \(\dfrac{\text{aire du secteur}}{\text{angle}}\) est constant (et vaut \(\frac{1}{2}\)), et à la limite \(\dfrac{\sin\theta}{\theta}\) devient constant quand \(\theta \to 0\). Ce dernier glissement — un quotient qui n'est pas constant mais qui le devient à petite échelle — est exactement l'idée de dérivée, développée en section IX.

VII — Proportionnalité inverse et grandeurs composées

VII.1 Proportionnalité inverse

Définition 8 — Grandeurs inversement proportionnelles

Deux grandeurs strictement positives \(x\) et \(y\) sont inversement proportionnelles lorsque leur produit est constant : \[x\,y = c, \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad y = \frac{c}{x}.\] Graphiquement, la courbe de \(y = \frac{c}{x}\) est une hyperbole, qui s'approche des axes sans les toucher.

Remarquez la symétrie parfaite des deux définitions : proportionnalité directe = quotient constant ; proportionnalité inverse = produit constant. Doubler l'une double l'autre dans le premier cas, divise l'autre par deux dans le second. Le gâteau à partager illustre la seconde : deux fois plus de convives, des parts deux fois plus petites — le produit (nombre de parts) × (taille des parts) reste le gâteau entier.

VII.2 Grandeurs composées

Définition 9 — Grandeurs quotients et grandeurs produits

Une grandeur quotient est le coefficient d'une proportionnalité entre deux grandeurs : vitesse (km/h), masse volumique (kg/m³), débit (L/min), concentration (g/L), densité de population (hab/km²). Une grandeur produit combine deux grandeurs par multiplication : l'énergie en kilowattheures, les personnes-jours d'un chantier.

Méthode — L'analyse dimensionnelle

Les unités se manipulent comme des fractions, et ce calcul vérifie les formules. Étapes :

écrire chaque grandeur avec son unité complète ;
convertir les unités composées en unités de base (\(90\) km/h \(= \dfrac{90\,000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 25\) m/s) ;
simplifier les unités comme des facteurs ; l'unité du résultat doit être cohérente avec la grandeur cherchée — sinon la formule est fausse.

Ce réflexe, omniprésent en physique, détecte une erreur de formule avant tout calcul numérique.

Exemple — Règle de trois composée

\(5\) machines produisent \(300\) pièces en \(4\) heures. Combien de pièces produisent \(8\) machines en \(6\) heures ? La production est proportionnelle au nombre de machines et à la durée : \[300 \times \frac{8}{5} \times \frac{6}{4} = 720 \text{ pièces}.\]

VIII — Évolutions successives et suites géométriques

C'est ici que l'intuition proportionnelle piège le plus de monde — y compris des adultes, des journalistes et des vendeurs. L'instinct dit « les pourcentages s'additionnent ». Il a tort, et il a tort d'une manière précise : les évolutions se composent, et composer des multiplications, ce n'est pas additionner. Le petit terme d'erreur \(ab\) qui apparaît ci-dessous est minuscule pour de petits taux — c'est pour cela que l'instinct « marche presque » — mais il devient énorme pour des taux ou des durées grandes : c'est la naissance de l'exponentielle.

Proposition 2 — Composition des évolutions démontré

Deux évolutions successives de coefficients multiplicateurs \(C_1\) et \(C_2\) équivalent à une évolution unique de coefficient \(C_1 C_2\). En termes de taux \(a = \frac{t_1}{100}\) et \(b = \frac{t_2}{100}\) : \[(1+a)(1+b) = 1 + a + b + ab.\] Le taux global n'est pas \(a + b\) : il s'y ajoute le terme croisé \(ab\).

Preuve. Partant d'une quantité \(Q\), la première évolution donne \(C_1 Q\), la seconde, appliquée au résultat, donne \(C_2 (C_1 Q) = (C_1 C_2) Q\) par associativité : l'effet global est bien la multiplication par \(C_1 C_2\). Le développement \((1+a)(1+b) = 1 + a + b + ab\) est la distributivité. ∎

Deux conséquences contre-intuitives à connaître par cœur :

\(+20\ \%\) puis \(+30\ \%\) ne font pas \(+50\ \%\) mais \(1{,}20 \times 1{,}30 = 1{,}56\), soit \(+56\ \%\) ;
\(+25\ \%\) puis \(-25\ \%\) ne reviennent pas au point de départ : \(1{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}9375\), soit \(-6{,}25\ \%\). Pour annuler \(+25\ \%\), il faut le coefficient inverse \(\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8\), c'est-à-dire \(-20\ \%\).

Définition 10 — Suite géométrique

Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) lorsque chaque terme s'obtient du précédent par multiplication par \(q\) : \(u_{n+1} = q\,u_n\), d'où \(u_n = u_0\, q^n\). Chaque terme est proportionnel au précédent — mais \(u_n\) n'est pas proportionnel à \(n\) : la croissance est exponentielle, radicalement plus rapide (si \(q > 1\)) que toute croissance linéaire.

Exemple — Intérêts composés

Un capital \(C\) placé à \(3\ \%\) par an vaut \(C \times 1{,}03^n\) après \(n\) années. Après \(24\) ans, \(1{,}03^{24} \approx 2{,}03\) : le capital a doublé, alors que le raisonnement additif (« \(24 \times 3 = 72\ \%\) ») prédit \(1{,}72\). L'écart, c'est l'accumulation des termes croisés \(ab\).

IX — La linéarité, généralisation ultime de la proportionnalité

Reprenons les deux propriétés de la Proposition 1 — additivité et homogénéité — et faisons-en une définition : sera dite « linéaire » toute application qui les vérifie. Ce retournement (une propriété démontrée devient un axiome de départ) est l'un des gestes les plus féconds des mathématiques : il permet d'exporter la proportionnalité vers des mondes où « quotient constant » n'a plus de sens — vecteurs, fonctions, matrices — mais où additionner et multiplier par un scalaire en ont toujours un.

Définition 11 — Application linéaire (cas réel)

Une application \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est linéaire lorsque pour tous \(x, x' \in \mathbb{R}\) et tout \(\lambda \in \mathbb{R}\) : \[f(x + x') = f(x) + f(x') \qquad \text{et} \qquad f(\lambda x) = \lambda f(x).\]

Preuve. Soit \(f\) linéaire. Pour tout réel \(x\), écrivons \(x = x \cdot 1\) : l'homogénéité appliquée avec \(\lambda = x\) donne \(f(x) = f(x \cdot 1) = x\, f(1)\). En posant \(a = f(1)\), on obtient \(f(x) = ax\) pour tout \(x\). Réciproquement, toute fonction \(x \mapsto ax\) vérifie les deux propriétés de la Définition 11 (c'est la Proposition 1). L'ensemble des applications linéaires de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) est donc exactement l'ensemble des fonctions linéaires au sens de la Définition 2. ∎

Remarque — Une subtilité pour les curieux

La preuve n'a utilisé que l'homogénéité. L'additivité seule suffit-elle ? C'est l'équation fonctionnelle de Cauchy \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) : elle force \(f(x) = ax\) sur les rationnels, et même sur \(\mathbb{R}\) dès que \(f\) est continue en un point — mais il existe, si l'on accepte l'axiome du choix, des solutions non continues et hautement pathologiques. Moralité : sur \(\mathbb{R}\), la proportionnalité est robuste, mais pas gratuite.

IX.1 En dimension supérieure : les matrices

🔗 Vers l'algèbre linéaire

La Définition 11 garde tout son sens quand \(x\) est un vecteur : une application linéaire du plan dans le plan (rotation, homothétie, projection) est représentée par une matrice — un « coefficient de proportionnalité » qui n'est plus un nombre mais un tableau de nombres. L'algèbre linéaire, pilier des mathématiques de CPGE (et du graphisme 3D, et de l'apprentissage automatique), est le développement systématique de la proportionnalité vectorielle. Le chapitre sur les matrices reprendra exactement les deux axiomes de la Définition 11.

IX.2 En analyse : la dérivée comme proportionnalité locale

Presque aucune fonction n'est proportionnelle. Mais regardez n'importe quelle courbe lisse au microscope : plus on zoome, plus elle ressemble à une droite. La dérivée capture cette droite — c'est-à-dire la proportionnalité qui approche le mieux la fonction localement. La limite \(\frac{\sin\theta}{\theta} \to 1\) de la section VI en était le premier exemple : au voisinage de \(0\), \(\sin\) se comporte comme la fonction linéaire \(\theta \mapsto \theta\).

Proposition 3 — Lecture « proportionnelle » de la dérivée démontré

Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \[f(a+h) - f(a) = f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \text{où } \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0.\] Autrement dit, la variation de \(f\) est proportionnelle à la variation \(h\) de la variable, de coefficient \(f'(a)\), à une erreur près négligeable devant \(h\).

Preuve. Posons, pour \(h \neq 0\), \(\varepsilon(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} - f'(a)\). Par définition du nombre dérivé, le taux d'accroissement \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) tend vers \(f'(a)\) quand \(h \to 0\), donc \(\varepsilon(h) \to 0\). En multipliant la définition de \(\varepsilon\) par \(h\), on obtient exactement \(f(a+h) - f(a) = f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)\). ∎

🔴 Fil rouge — La boucle est bouclée

Le quotient constant, suivi depuis la section I, se retrouve dans la dérivée sous sa forme la plus profonde : \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) n'est pas constant, mais il tend vers une constante. Dériver, c'est trouver le coefficient de la proportionnalité locale. Tout le calcul différentiel — et derrière lui la physique — repose sur ce geste : remplacer, à petite échelle, une loi compliquée par la proportionnalité qui lui colle le mieux.

X — Savoir quand le modèle s'arrête

Méthode — Les trois échecs classiques et leurs remèdes

Effets fixes : frais de livraison, abonnement, partie fixe d'un salaire. Modèle correct : relation affine \(y = ax + b\). Détection immédiate par le Théorème 2 : la droite ne passe pas par l'origine.
Non-linéarités : distance de freinage (\(\propto v^2\)), résistance de l'air, dose-effet d'un médicament. Modèle correct : proportionnalité entre grandeurs transformées (\(y \propto x^2\), \(y \propto 1/x^2\), \(y \propto \sqrt{x}\)…). Sur papier log-log, une loi de puissance \(y = c\,x^n\) devient une droite de pente \(n\) — la proportionnalité se cache dans les logarithmes.
Effets d'échelle : conséquence du Théorème 4. Un animal deux fois plus grand a une surface \(4\) fois plus grande mais une masse \(8\) fois plus grande ; le rapport surface/volume s'effondre avec la taille. C'est pourquoi l'éléphant a de grandes oreilles (dissiper la chaleur) et pourquoi la fourmi géante des films s'écroulerait sous son propre poids.

Le réflexe final à acquérir n'est pas « appliquer la proportionnalité », mais poser systématiquement la question : ces deux grandeurs sont-elles vraiment proportionnelles, sur quelle plage, et sinon, quelle est la vraie loi ? Cette question, à elle seule, mène de la règle de trois du primaire jusqu'à la modélisation scientifique.

Récapitulatif et ponts vers la suite

Récapitulatif — Résultats admis dans ce chapitre

Théorème 3 (Thalès) — sera démontré au chapitre de géométrie du plan ;
Théorème 4 (aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\), cas général) — démontré pour les rectangles, admis au-delà ;
Théorème 5 (proportionnalité arc/aire–angle) — le maillon admis dont dépendent les Théorèmes 6 et 7 ; sera consolidé au chapitre d'intégration.

Tous les autres résultats du chapitre sont démontrés à partir des axiomes de \(\mathbb{R}\) et de ces trois admis.

🔗 Ponts vers la suite

En mathématiques. La limite fondamentale (Théorème 7) fournira \(\sin' = \cos\) au chapitre de dérivation ; la Définition 11 est le prototype des applications linéaires du chapitre d'algèbre linéaire ; les suites géométriques ouvrent sur l'exponentielle et les équations différentielles \(y' = ky\) — la proportionnalité entre une grandeur et sa propre vitesse de variation.

En physique. Les lois linéaires (Ohm \(U = RI\), Hooke \(F = kx\)) sont des proportionnalités exactes dans leur domaine de validité ; la gravitation (\(F \propto 1/d^2\)) et le pendule (\(T \propto \sqrt{L}\)) sont des proportionnalités entre grandeurs transformées ; l'analyse dimensionnelle (section VII) est l'outil de vérification quotidien.

En sciences de l'ingénieur. La linéarisation autour d'un point de fonctionnement (Proposition 3) est le geste fondateur de l'automatique : tout système, aussi non linéaire soit-il, est étudié via la proportionnalité locale entre petites variations d'entrée et de sortie.

🔴 Fil rouge — Synthèse finale

Un quotient constant : c'est tout. Constant entre deux listes de nombres (section I), constant comme pente d'une droite par l'origine (III), constant entre longueurs homologues (Thalès, V), égal à \(1\) par construction du radian (VI), constant entre termes consécutifs d'une suite géométrique (VIII), constant à la limite dans la dérivée (IX). La maturité mathématique sur ce chapitre, c'est de reconnaître ce même quotient sous tous ses déguisements — et de savoir dire quand il n'existe pas (X).