| Exercice | Thème | Idée clé |
|---|---|---|
| Ex. 1 | Cauchy-Schwarz intégrale | Exploiter \(J(\lambda_0) \geq 0\) avec \(J(\lambda) = \int_0^1(f(x)-\lambda x)^2\,dx\) |
| Ex. 2 | Norme \(L^2\) et inégalité triangulaire | \(N(f+g) \leq N(f) + N(g)\) via Cauchy-Schwarz |
| Ex. 3 | Convexité et inégalité de Jensen | Intégrer la définition de la convexité sur \([a,b]\) |
| Ex. 4 | Norme \(L^n \to L^\infty\) | \(u_n = \left(\int_0^1 f(x)^n\,dx\right)^{1/n} \to \max f\) |
| Ex. 5 | Encadrement de \(\ln(1+x)\) | Étude de \(f(x) = \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2(1+x)}\) et suite \(I_n\) |
| Ex. 6 | Caractérisation de la fonction nulle | \(\int_0^1|f(x)|\,dx = 0 \Rightarrow f = 0\), puis \(v_n \to 0\) |
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\). On définit la fonction \(J\) qui à tout réel \(\lambda\) associe : \[J(\lambda) = \int_0^1 (f(x) - \lambda x)^2\,dx\]
Développer \(J(\lambda)\) et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme \[J(\lambda) = A\lambda^2 - 2B\lambda + C\] où \(A\), \(B\) et \(C\) sont des intégrales dépendant de \(f\).
Déterminer la valeur \(\lambda_0\) pour laquelle \(J(\lambda)\) atteint son minimum. Calculer \(J(\lambda_0)\) en fonction de \(A\), \(B\), \(C\).
En utilisant le fait que \(J(\lambda_0) \geq 0\), prouver l'inégalité suivante : \[\left(\int_0^1 xf(x)\,dx\right)^2 \leq \left(\int_0^1 x^2\,dx\right)\left(\int_0^1 (f(x))^2\,dx\right)\]
Identifier l'inégalité prouvée à la question 3. Énoncer le cas général de cette inégalité pour deux fonctions \(u\) et \(v\) sur \([a,b]\).
Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur \(f\) pour que l'égalité \(J(\lambda_0) = 0\) soit vérifiée.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur l'intervalle \([0,1]\). On définit la fonction \(N\) par : \[N(h) = \sqrt{\int_0^1 (h(x))^2\,dx}\]
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que : \[\int_0^1 |f(x)g(x)|\,dx \leq N(f)\,N(g)\]
Développer l'intégrale :
\[\int_0^1 (f(x) + g(x))^2\,dx\]En utilisant le résultat de la question 1, montrer que :
\[N(f+g)^2 \leq (N(f) + N(g))^2\]En déduire que :
\[N(f+g) \leq N(f) + N(g)\]Soient \((f_n)\) et \((g_n)\) deux suites de fonctions continues sur \([0,1]\). On suppose que : \[\lim_{n \to +\infty} N(f_n) = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n \to +\infty} N(g_n) = 0\] Prouver que la suite \((h_n)\) définie par \(h_n = f_n + g_n\) vérifie : \[\lim_{n \to +\infty} N(h_n) = 0\]
Soit \(f\) une fonction convexe sur l'intervalle \([a,b]\).
(a) Rappeler la définition d'une fonction convexe.
(b) Montrer que pour tout \(x \in [a,b]\) :
\[f(x) \leq \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)\]Intégrer l'inégalité précédente sur \([a,b]\) pour prouver :
\[\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}\]En effectuant le changement de variable \(y = a + b - x\) et en utilisant la convexité, prouver : \[f\!\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\]
Soit \(f(x) = e^x\) sur \([0,1]\).
(a) Vérifier que \(f\) est convexe sur \([0,1]\).
(b) En déduire deux réels \(m\) et \(M\) tels que :
\[m \leq \int_0^1 e^x\,dx \leq M\]Diviser l'intervalle \([0,1]\) en deux sous-intervalles \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\) et \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\) et appliquer l'inégalité précédente sur chacun d'eux afin d'obtenir une borne inférieure plus précise.
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\). On pose : \[M = \max_{x \in [0,1]} f(x)\] et on suppose \(f(x) \geq 0\). On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[u_n = \left(\int_0^1 (f(x))^n\,dx\right)^{1/n}\]
Justifier l'existence de \(M\).
Montrer que pour tout \(n \geq 1\) :
\[u_n \leq M\]Soit \(\varepsilon > 0\). Montrer qu'il existe un intervalle \([\alpha, \beta] \subset [0,1]\) tel que : \[f(x) \geq M - \varepsilon\] pour tout \(x \in [\alpha, \beta]\).
Établir une minoration de \[\int_0^1 (f(x))^n\,dx\] faisant intervenir \(M\), \(\varepsilon\) et \((\beta - \alpha)\).
En déduire :
Soit \(f\) définie sur \([0,1]\) par :
\[f(x) = \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2(1+x)}\]On considère :
\[I_n = \int_0^1 x^n \ln(1+x)\,dx\](a) Étudier les variations de \(f\).
(b) Montrer que pour tout \(x \in [0,1]\) :
\[\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x - \frac{x^2}{2(1+x)}\]En déduire :
\[\frac{1}{n+2}\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}\,dx \leq \frac{\ln 2}{n+1} - I_n \leq \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}\,dx\](a) Montrer que :
\[\frac{1}{2(n+2)} \leq \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}\,dx \leq \frac{1}{n+2}\](b) En déduire :
\[\lim_{n \to +\infty} n\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}\,dx\]Montrer que la suite \((nI_n)\) converge et déterminer sa limite.
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\) telle que : \[\int_0^1 |f(x)|\,dx = 0\]
(a) Supposons qu'il existe \(c \in [0,1]\) tel que \(f(c) \neq 0\). Montrer qu'il existe un intervalle \(I\) et un réel \(k > 0\) tels que : \[|f(x)| \geq k\] pour tout \(x \in I\).
(b) En déduire une contradiction.
(c) Conclure que :
Soit \(g\) une fonction continue sur \([0,1]\). On pose :
\[v_n = \int_0^1 x^n g(x)\,dx\](a) Montrer que :
\[|v_n| \leq \max_{x \in [0,1]} |g(x)| \cdot \int_0^1 x^n\,dx\](b) En déduire :