Transcript HTML — Intégrale de Frullani
Transcription propre de l’exercice montré sur les captures, avec mise en forme HTML + MathJax.
$$I(a,b)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx$$
Énoncé
Calculer l’intégrale de Frullani :
$$\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx$$
où l’on suppose $a>0$ et $b>0$.
Solution
On considère la fonction
$$f(a)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx.$$
On remarque que
$$f(b)=\int_0^{\infty}\frac{e^{-bx}-e^{-bx}}{x}\,dx=\int_0^{\infty}0\,dx=0.$$
Nous allons donc calculer $f'(a)$, puis intégrer.
En dérivant sous le signe intégral, on obtient :
$$\begin{aligned}
f'(a)
&= \frac{d}{da}\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx \\
&= \int_0^{\infty}\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\right)dx \\
&= \int_0^{\infty}\frac{-xe^{-ax}}{x}\,dx \\
&= -\int_0^{\infty}e^{-ax}\,dx.
\end{aligned}$$
Or, pour $a>0$,
$$\begin{aligned}
\int_0^{\infty}e^{-ax}\,dx
&= \left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\right]_0^{\infty} \\
&= 0-\left(-\frac{1}{a}\right) \\
&= \frac{1}{a}.
\end{aligned}$$
Donc
$$f'(a)=-\frac{1}{a}.$$
On intègre alors sur l’intervalle $[b,a]$ :
$$\int_b^a f'(\alpha)\,d\alpha = \int_b^a -\frac{1}{\alpha}\,d\alpha.$$
D’après le théorème fondamental de l’analyse, cela donne
$$f(a)-f(b)=-\bigl[\ln(\alpha)\bigr]_b^a=-\ln(a)+\ln(b)=\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).$$
Comme $f(b)=0$, on en déduit :
$$f(a)=\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).$$
Autrement dit,
$$\boxed{\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx=\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)}.$$
Résultat classique de l’intégrale de Frullani, valable pour $a>0$ et $b>0$.