Continuité

Intuition — pas de saut, pas de trou

Une fonction est continue en \(a\) si son graphe ne "saute" pas en \(a\). Formellement : la limite de \(f(x)\) quand \(x \to a\) existe et vaut \(f(a)\). Pas de saut, pas de trou, pas de point isolé.

Sur un intervalle, cela se voit graphiquement : on trace la courbe sans lever le crayon.

Pourquoi cette définition est importante — le fermé, pas juste l'ouvert

Sur un intervalle ouvert \(]\alpha, \beta[\), la définition 1 suffit — en tout point intérieur, \(x\) peut approcher \(a\) des deux côtés.

Mais sur un intervalle fermé \([\alpha, \beta]\), les bornes posent problème. En \(\alpha\), on ne peut approcher que par la droite — il n'y a pas de points de \(I\) à gauche de \(\alpha\). En \(\beta\), uniquement par la gauche.

La définition 2 règle exactement ce problème : elle adapte la notion de continuité aux bornes en n'exigeant la limite que du côté où \(f\) est définie.

C'est pourquoi les grands théorèmes — TVI, théorème des bornes — s'énoncent sur un intervalle fermé borné \([a, b]\) et non sur un ouvert. La continuité sur \([a, b]\) inclut les conditions aux bords, et c'est précisément ce qui garantit les conclusions.

Pourquoi trois formulations ?

Ce sont trois façons de dire la même chose — mais chacune est utile dans un contexte différent.

(i) est la définition naturelle — limite égale à la valeur.

(ii) est commode pour les calculs — on pose \(h = x - a\) et on ramène tout à \(h \to 0\).

(iii) est la définition "epsilon-eta" — la plus rigoureuse, elle quantifie précisément "pas de saut" : pour toute précision \(\varepsilon\) souhaitée sur les sorties, il existe une tolérance \(\eta\) sur les entrées.

D'où vient l'approximation affine ? Par définition, \(f\) est dérivable en \(a\) signifie que le taux d'accroissement admet une limite : \[\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)\] On pose \(\varphi(h) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} - f'(a)\), qui mesure l'écart entre le taux d'accroissement et sa limite. Par définition de la limite, \(\varphi(h) \to 0\) quand \(h \to 0\). En réarrangeant : \[\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a) + \varphi(h)\] \[f(a+h) - f(a) = h\,f'(a) + h\,\varphi(h)\] \[f(a+h) = f(a) + h\,f'(a) + h\,\varphi(h)\] C'est l'approximation affine — pas un postulat, juste la définition de \(f'(a)\) réécrite.

Intuition — on peut "faire rentrer la limite dans la fonction"

Si \(g\) est continue en \(l\) et \(u_n \to l\), alors \(g(u_n) \to g(l)\). En d'autres termes, la continuité autorise à permuter limite et fonction :

\[\lim_{n\to+\infty} g(u_n) = g\!\left(\lim_{n\to+\infty} u_n\right)\]

C'est très utile en pratique — par exemple pour calculer la limite d'une suite définie par récurrence.

Intuition — g comme une machine

On peut voir \(g\) comme une machine : on injecte \(u_n\) et on récupère \(u_{n+1} = g(u_n)\).

• on injecte \(u_0\) → on récupère \(u_1 = g(u_0)\)
• on injecte \(u_1\) → on récupère \(u_2 = g(u_1)\)
• on injecte \(u_2\) → on récupère \(u_3 = g(u_2)\)
• ...

Si la suite converge vers \(l\), on a deux suites qui ont chacune une limite :

• la suite \((u_{n+1})\) converge vers \(l\) — c'est la même suite, juste décalée d'un rang
• la suite \((g(u_n))\) converge vers \(g(l)\) — par continuité de \(g\) en \(l\)

Or \(u_{n+1} = g(u_n)\) pour tout \(n\) — ce sont la même suite. Par unicité de la limite : \(l = g(l)\).

Ce n'est pas "on injecte \(l\) et on récupère \(l\)" — c'est que les deux descriptions de la même suite donnent deux expressions de la même limite.

Ce que dit vraiment ce résultat

Si la suite converge, sa limite \(l\) est nécessairement un point fixe de \(g\), c'est-à-dire une solution de l'équation \(g(l) = l\).

Attention : ce résultat ne dit pas que la suite converge — il dit seulement que si elle converge, sa limite vérifie \(g(l) = l\). En pratique, on utilise ce résultat en deux temps :

• d'abord on prouve la convergence (par exemple par monotonie et majoration),
• ensuite on identifie la limite comme solution de \(g(l) = l\).

"Sans lever le crayon"

De façon imagée, \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) si sa courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) peut être dessinée "sans lever le crayon" — aucune rupture, aucun saut sur tout l'intervalle.

Intuition

Pour chaque \(x\) dans \(I\), on calcule \(f(x)\) et on rassemble tous ces résultats. \(f(I)\) est l'ensemble de toutes les valeurs prises par \(f\) quand \(x\) parcourt \(I\).

Intuition — "traverser l'axe"

Si \(f\) est continue et que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, la courbe part d'un côté de l'axe des abscisses et arrive de l'autre côté — sans lever le crayon, elle doit forcément traverser cet axe en un point \(c\).

Intuition — piéger le zéro

Comme on ne peut pas trouver \(c\) directement, on travaille sur \(f(c)\). On sait que \(f(a) < 0\) et \(f(b) > 0\). On coupe \([a,b]\) en deux au milieu \(m = \dfrac{a+b}{2}\). Trois cas :

• \(f(m) = 0\) : on a trouvé, \(c = m\),
• \(f(m) < 0\) : \(f\) change de signe sur \([m, b]\), on recommence sur \([m, b]\),
• \(f(m) > 0\) : \(f\) change de signe sur \([a, m]\), on recommence sur \([a, m]\).

À chaque étape l'intervalle est deux fois plus petit. On construit ainsi deux suites qui se rapprochent l'une de l'autre et convergent vers un même point \(c\). En répétant indéfiniment, on "piège" le zéro de \(f\) — et la continuité de \(f\) fait le reste.

Tant que b - a > 10⁻ᵖ
    m ← (a + b) / 2
    Si f(a) * f(m) < 0
        Alors b ← m
        Sinon a ← m
    Fin Si
Fin Tant que
Afficher b

def f(x):
    return x**3 + x - 1

a = float(input("a="))
b = float(input("b="))
p = int(input("p="))
while b - a > 10**(-p):
    m = (a + b) / 2
    if f(a) * f(m) < 0:
        b = m
    else:
        a = m
print(b)

Intuition — f(x) = k revient à g(x) = 0

Le TVI généralise la dichotomie : au lieu de chercher où \(f\) s'annule, on cherche où \(f\) atteint une valeur \(k\) quelconque comprise entre \(f(a)\) et \(f(b)\).

L'astuce : poser \(g(x) = f(x) - k\). Chercher où \(f(x) = k\) revient exactement à chercher où \(g(x) = 0\). Graphiquement, \(\mathcal{C}_g\) est \(\mathcal{C}_f\) décalée vers le bas de \(k\) — la droite \(y = k\) devient l'axe des abscisses.

Intuition

Une fonction continue ne peut pas "sauter" — elle prend toutes les valeurs intermédiaires. Donc si elle atteint deux valeurs \(y_1\) et \(y_2\), elle atteint aussi toutes les valeurs entre les deux. C'est exactement la définition d'un intervalle.

Pourquoi \(f(\mathbb{R}) = {]0, 2]}\) pour \(f(x) = \dfrac{2}{x^2+1}\) ?

C'est un raisonnement par monotonie de la fonction \(t \mapsto \dfrac{1}{t}\) : quand \(t\) augmente (avec \(t > 0\)), \(\dfrac{1}{t}\) diminue.

• Plus \(x^2\) est grand, plus \(x^2+1\) est grand, plus \(\dfrac{2}{x^2+1}\) est petit.
• Le maximum est atteint quand \(x^2+1\) est le plus petit possible, c'est-à-dire en \(x = 0\) : \(f(0) = \dfrac{2}{1} = 2\). Le 2 est atteint.
• Quand \(x \to \pm\infty\), \(x^2+1 \to +\infty\) donc \(f(x) \to 0\). Mais \(x^2+1 > 0\) pour tout \(x\), donc \(f(x) > 0\) — le 0 n'est jamais atteint.

D'où \(f(\mathbb{R}) = {]0, 2]}\).

Intuition

Sur un intervalle fermé borné, une fonction continue atteint son minimum et son maximum — elle ne peut pas "tendre vers" une valeur sans l'atteindre. L'image est donc un intervalle fermé \([m, M]\).

La réciproque de la proposition précédente est fausse : une fonction discontinue peut avoir une image qui est un intervalle fermé sans être continue. Voir le contre-exemple ci-dessous.

Intuition

Le TVI garantit l'existence d'une solution. La monotonie stricte garantit l'unicité : si la courbe est strictement croissante (ou décroissante), elle ne peut croiser la droite horizontale \(y = k\) qu'une seule fois.

Ce que signifie être une bijection

Chaque valeur \(y\) de \(f(I)\) a exactement un antécédent \(x\) dans \(I\). La fonction \(f\) est une machine parfaitement réversible — on peut toujours retrouver l'entrée à partir de la sortie, et de façon unique.

C'est ce qui permet de définir une fonction réciproque \(f^{-1}\) : pour tout \(y \in f(I)\), \(f^{-1}(y)\) est l'unique \(x \in I\) tel que \(f(x) = y\).