On considère une suite de réels \((a_n)\), une suite de complexes \((b_n)\), et on note pour tout entier naturel \(n\) : \[S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_k \qquad \text{et} \qquad B_n = \sum_{k=0}^{n} b_k\]
a) Pour tout entier \(k \geq 1\), déterminer \(b_k\) en fonction de \(B_k\) et \(B_{k-1}\).
b) Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Montrer que : \[S_n = a_n B_n + \sum_{k=0}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B_k\] On remarque que \(B_0 = b_0\).
On suppose que la suite \((B_n)\) est bornée et que \((a_n)\) est décroissante de limite nulle.
a) Décomposer que la série \(\sum(a_k - a_{k+1})B_k\) converge.
b) En déduire que la série \(\sum a_n b_n\) converge.
Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} (-1)^n a_n\) converge.
Soit \(\theta\) un réel différent de \(2k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\), et \(\alpha\) un réel.
a) Calculer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \[\sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta}\]
b) Montrer que pour \(\alpha \leq 0\), la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}\) est divergente.
c) Soit \(\alpha > 0\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose \(a_n = \dfrac{1}{n^\alpha}\) et \(B_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta}\). D'après la question précédente, on obtient : \[\left|\frac{\cos(n\alpha)}{n^\alpha}\right| \leq \frac{1}{n^\alpha} \quad \text{et} \quad \left|\frac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}\right| \leq \frac{1}{n^\alpha}\] donc la série \(\displaystyle\sum \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}\) converge d'après la question I.2.b, et par suite les séries \(\displaystyle\sum \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}\) et \(\displaystyle\sum \frac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}\) sont convergentes.
d) Montrer que pour \(\alpha > 1\), les séries \(\displaystyle\sum \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}\) et \(\displaystyle\sum \frac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}\) sont absolument convergentes.
e) On suppose que \(0 < \alpha \leq 1\).
(i) Vérifier que la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}\) est convergente.
(ii) On a : \[\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\quad \frac{\sin^2(n\alpha)}{n^\alpha} = \frac{1 - \cos(2n\theta)}{2n^\alpha}\] La série de Riemann \(\displaystyle\sum \frac{1}{n^\alpha}\) est divergente \((\alpha < 1)\), et la série \(\displaystyle\sum \frac{\cos(2n\theta)}{n^\alpha}\) est convergente d'après la question précédente, donc la série \(\displaystyle\sum \frac{\sin^2(n\theta)}{n^\alpha}\) est divergente en tant que somme d'une série convergente et d'une série divergente.
(iii) Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On a \(\sin(n\theta)\cdot\sin(n\theta) \geq \sin^2(n\theta)\), donc \(\displaystyle\frac{|\sin(n\theta)|}{n^\alpha} \geq \frac{\sin^2(n\theta)}{n^\alpha}\), et comme la série \(\displaystyle\sum \frac{\sin^2(n\theta)}{n^\alpha}\) est divergente, la série \(\displaystyle\sum \frac{|\sin(n\theta)|}{n^\alpha}\) est aussi divergente, ainsi la série \(\displaystyle\sum \frac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}\) n'est pas absolument convergente.
Soit \((c_n)\) une suite de nombres complexes telles que la série \(\displaystyle\sum c_n\) est convergente. Montrer que, si la série \(\displaystyle\sum \text{Re}(c_n)\) est à termes positifs, la série \(\displaystyle\sum \text{Re}(c_n)\) est convergente.
Dans cette partie, on considère une fonction réelle \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^+\), continue, positive et décroissante. On pose, pour tout réel strictement positif \(s\) : \[\varphi_f(s) = \int_0^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt\]
Montrer que la fonction \(\varphi_f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}^+_*\) (on rappelle que \(\mathbb{R}^+_*\) est l'ensemble des réels strictement positifs).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) par :
\[g(t) = \begin{cases} 1-t & \text{si } 0 \leq t \leq 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]Déterminer \(\varphi_g\).
Montrer que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\) et tout \(t \in [k, k+1]\) : \[e^{-(k+1)s} f(k+1) \leq e^{-st} f(t) \leq e^{-ks} f(k)\]
Soit \(N \in \mathbb{N}^*\) et \(s \in \mathbb{R}^+_*\). D'après la question précédente, montrer que : \[\sum_{k=0}^{N} e^{-ks} f(k) \leq \int_0^{N} e^{-st} f(t)\,dt + f(0)\] et \[\int_0^{N+1} e^{-st} f(t)\,dt \leq \sum_{k=0}^{N} e^{-ks} f(k)\]
La série \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} e^{-ns} f(n)\) est à termes positifs ; pour montrer qu'elle est convergente, il suffit qu'on montre que la suite de ses sommes partielles est majorée. D'après la question précédente : \[\forall\, n \in \mathbb{N},\quad \sum_{k=0}^{n} e^{-ks} f(k) \leq \int_0^{n} e^{-st} f(t)\,dt + f(0) \leq \int_0^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt + f(0)\] donc la suite des sommes partielles de la série \(\displaystyle\sum e^{-ns} f(n)\) est majorée, et par conséquent la série \(\displaystyle\sum e^{-ns} f(n)\) est convergente.
Soit \(s \in \mathbb{R}^*_+\), \(n \in \mathbb{N}\) et \(N \in \mathbb{N}^*\) tel que \(n \geq N\). D'après la question III.1, pour tout \(k \in [n, N]\) : \[e^{-(k+1)s} f(k+1) \leq \int_k^{k+1} e^{-st} f(t)\,dt \leq e^{-ks} f(k)\] donc : \[\sum_{k=n}^{N} e^{-ks} f(k) \leq \int_n^{N+1} e^{-st} f(t)\,dt \leq \sum_{k=n}^{N} e^{-ks} f(k)\] c.à.d. : \[\sum_{k=n}^{N} e^{-ks} f(k) \leq \int_n^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt \leq \sum_{k=n}^{N} e^{-ks} f(k)\]
a) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que, pour tout \((a,s) \in \mathbb{R}^+_* \times \mathbb{R}^+_*\) : \[\int_n^{+\infty} e^{-at} f(e^{-t})\,dt \leq \sum_{k=n}^{+\infty} e^{-ks} f(k) \leq \int_n^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt + f(0)\]
b) Soit \(s \in \mathbb{R}^+_*\) et \(n \in \mathbb{N}^*\). En prenant \(s' = s\) dans la question précédente, on obtient : \[\int_n^{+\infty} e^{-st} f(e^{-t})\,dt \leq \sum_{k=n}^{+\infty} e^{-ks} f(k) \leq \int_n^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt + f(0)\]
Soit \(f\) une fonction réelle définie sur \(\mathbb{R}^+\), continue, positive et croissante.
a) Montrer que, pour tout \(s \in \mathbb{R}^+_*\), \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} e^{-ns} f(n)\) converge.
b) Montrer que, pour tout \(s \in \mathbb{R}^+_*\) : \[0 \leq \sum_{n \geq 0} e^{-ns} f(e^{-n}) - \int_0^{+\infty} e^{-st} f(e^{-t})\,dt \leq f(1)\]
Soit \(k \geq 1\). On a \(B_k = \displaystyle\sum_{j=0}^{k} b_j\) et \(B_{k-1} = \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} b_j\), donc :
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). On a :
\[S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_k = a_0 b_0 + \sum_{k=1}^{n} a_k b_k\]D'après la question 1a, \(b_k = B_k - B_{k-1}\) pour \(k \geq 1\), donc :
\[S_n = a_0 B_0 + \sum_{k=1}^{n} a_k(B_k - B_{k-1})\] \[= a_0 B_0 + \sum_{k=1}^{n} a_k B_k - \sum_{k=1}^{n} a_k B_{k-1}\]On effectue le changement d'indice \(j = k-1\) dans la dernière somme :
\[= a_0 B_0 + \sum_{k=1}^{n} a_k B_k - \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} B_j\] \[= a_0 B_0 + a_n B_n + \sum_{k=1}^{n-1} a_k B_k - \sum_{k=0}^{n-1} a_{k+1} B_k \quad \text{car } B_0 = b_0\] \[= a_n B_n + a_0 B_0 - a_1 B_0 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B_k\] \[= a_n B_n + (a_0 - a_1)B_0 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B_k\]Puisque \((a_n)\) est décroissante, \(a_k - a_{k+1} \geq 0\) pour tout \(k\).
La suite \((B_n)\) est bornée, donc il existe \(M > 0\) tel que \(|B_n| \leq M\) pour tout \(n\). Ainsi :
\[|(a_k - a_{k+1})B_k| \leq M(a_k - a_{k+1})\]Or \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(a_k - a_{k+1}) = a_0 - a_n \to a_0\) puisque \(a_n \to 0\).
La série \(\displaystyle\sum(a_k - a_{k+1})\) converge (suite télescopique à termes positifs), donc par comparaison la série \(\displaystyle\sum(a_k - a_{k+1})B_k\) converge absolument, donc converge.
D'après la formule d'Abel :
\[S_n = a_n B_n + \sum_{k=0}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B_k\]Donc \(S_n\) converge.
On pose \(b_n = (-1)^n\). Alors \(B_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\), donc \(B_n \in \{0, 1\}\) : la suite \((B_n)\) est bornée.
Par définition de la convergence d'une série, il suffit de montrer que la suite \((S_n)\) de ses sommes partielles converge. Or d'après la question I.2.b, on a :
\[\forall\, n \in \mathbb{N},\quad S_n = a_n B_n + \sum_{k=0}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B_k\]alors il suffit qu'on montre que les suites \((a_n B_n)\) et \(\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B_k\right)\) sont convergentes.
Donc la suite des sommes partielles \(\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(a_k - a_{k+1})B_k\right)\) est convergente.
C'est une somme géométrique de raison \(e^{i\theta} \neq 1\) (car \(\theta \neq 2k\pi\)) :
\[\sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta} = e^{i\theta} \cdot \frac{1 - e^{in\theta}}{1 - e^{i\theta}} = \frac{e^{i\theta} - e^{i(n+1)\theta}}{1 - e^{i\theta}}\]En factorisant numérateur et dénominateur :
\[\left|\sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta}\right| \leq \frac{2}{|1 - e^{i\theta}|} = \frac{1}{|\sin(\theta/2)|}\]La suite des sommes partielles \((B_n)\) est donc bornée par \(\dfrac{1}{|\sin(\theta/2)|}\).
Si \(\alpha \leq 0\), alors \(\dfrac{1}{n^\alpha} = n^{-\alpha} \geq 1\), donc le terme général \(\dfrac{e^{in\theta}}{n^\alpha}\) ne tend pas vers 0. La série diverge.
On pose \(a_n = \dfrac{1}{n^\alpha}\) (décroissante, de limite nulle) et \(b_n = e^{in\theta}\).
D'après 2a, \((B_n)\) est bornée par \(\dfrac{1}{|\sin(\theta/2)|}\).
D'après la question I.2.b, la série \(\displaystyle\sum \dfrac{e^{in\theta}}{n^\alpha}\) converge.
En prenant parties réelles et imaginaires :
On a \(\left|\dfrac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}\right| \leq \dfrac{1}{n^\alpha}\) et \(\left|\dfrac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}\right| \leq \dfrac{1}{n^\alpha}\).
La série de Riemann \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^\alpha}\) converge pour \(\alpha > 1\), donc par comparaison les deux séries sont absolument convergentes.
(i) Convergence de \(\displaystyle\sum \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}\) :
Déjà établie en 2c pour \(\alpha > 0\). ✓
(ii) Divergence de \(\displaystyle\sum \frac{\sin^2(n\theta)}{n^\alpha}\) :
On écrit \(\sin^2(n\theta) = \dfrac{1 - \cos(2n\theta)}{2}\), donc :
\[\sum \frac{\sin^2(n\theta)}{n^\alpha} = \frac{1}{2}\sum \frac{1}{n^\alpha} - \frac{1}{2}\sum \frac{\cos(2n\theta)}{n^\alpha}\]La série de Riemann \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^\alpha}\) diverge pour \(\alpha \leq 1\), et \(\displaystyle\sum \dfrac{\cos(2n\theta)}{n^\alpha}\) converge (par 2c, avec \(2\theta \neq 2k\pi\)). Donc leur différence diverge.
(iii) Non-convergence absolue de \(\displaystyle\sum \frac{\sin(n\theta)}{n^\alpha}\) :
On a \(|\sin(n\theta)| \cdot |\sin(n\theta)| = \sin^2(n\theta)\), donc :
\[\frac{|\sin(n\theta)|}{n^\alpha} \geq \frac{\sin^2(n\theta)}{n^\alpha}\]Comme \(\displaystyle\sum \dfrac{\sin^2(n\theta)}{n^\alpha}\) diverge (termes positifs), par comparaison \(\displaystyle\sum \dfrac{|\sin(n\theta)|}{n^\alpha}\) diverge.
La série \(\displaystyle\sum c_n\) converge, donc \(\displaystyle\sum \text{Re}(c_n)\) converge (la partie réelle d'une série convergente converge). De plus, \(\text{Re}(c_n) \geq 0\) par hypothèse, donc la suite des sommes partielles de \(\displaystyle\sum \text{Re}(c_n)\) est croissante et converge : la série converge.
Soit \(s > 0\). La fonction \(t \mapsto e^{-st}f(t)\) est continue, positive sur \(\mathbb{R}^+\).
Puisque \(f\) est décroissante et positive, \(0 \leq f(t) \leq f(0)\) pour tout \(t \geq 0\), donc :
\[0 \leq e^{-st}f(t) \leq f(0)\,e^{-st}\]et \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f(0)\,e^{-st}\,dt = \dfrac{f(0)}{s} < +\infty\).
Par comparaison, l'intégrale \(\varphi_f(s)\) converge.
On a :
\[\varphi_g(s) = \int_0^{+\infty} e^{-st}g(t)\,dt = \int_0^{1} e^{-st}(1-t)\,dt\]On intègre par parties avec \(u = 1-t\), \(dv = e^{-st}dt\) :
\[du = -dt, \qquad v = -\frac{e^{-st}}{s}\] \[\varphi_g(s) = \left[\frac{-(1-t)e^{-st}}{s}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{e^{-st}}{s}\,dt\] \[= \frac{1}{s} - \frac{1}{s}\left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^1 = \frac{1}{s} - \frac{1}{s^2}(1 - e^{-s})\]Les fonctions \(t \mapsto e^{-st}\) (décroissante) et \(t \mapsto f(t)\) (décroissante) sont toutes deux décroissantes.
Donc pour tout \(t \in [k, k+1]\) :
\[e^{-s(k+1)} \leq e^{-st} \leq e^{-sk} \qquad \text{et} \qquad f(k+1) \leq f(t) \leq f(k)\]Par croissance par produit (termes positifs) :
En intégrant l'encadrement de la question 3 sur \([k, k+1]\) :
\[e^{-(k+1)s}f(k+1) \leq \int_k^{k+1} e^{-st}f(t)\,dt \leq e^{-ks}f(k)\]En sommant de \(k=0\) à \(k=N-1\) :
\[\sum_{k=0}^{N-1} e^{-(k+1)s}f(k+1) \leq \int_0^{N} e^{-st}f(t)\,dt \leq \sum_{k=0}^{N-1} e^{-ks}f(k)\]c.à.d. :
\[\sum_{k=1}^{N} e^{-ks}f(k) \leq \int_0^{N} e^{-st}f(t)\,dt \leq \sum_{k=0}^{N-1} e^{-ks}f(k)\]D'où, en ajoutant \(f(0) = e^{0}f(0)\) à droite :
Et d'après le membre gauche de l'inégalité précédente, en sommant de \(k=0\) à \(N\) :
La série \(\displaystyle\sum e^{-ns}f(n)\) est à termes positifs. D'après la question 4 :
\[\forall\, n \in \mathbb{N},\quad \sum_{k=0}^{n} e^{-ks}f(k) \leq \int_0^{+\infty} e^{-st}f(t)\,dt + f(0) = \varphi_f(s) + f(0) < +\infty\]Donc la suite des sommes partielles est majorée.
En faisant tendre \(N \to +\infty\) dans les inégalités de la question 4, on obtient :
c.à.d. :
\[\sum_{k=n}^{+\infty} e^{-ks}f(k) \leq \int_n^{+\infty} e^{-st}f(t)\,dt \quad \text{et} \quad \int_n^{+\infty} e^{-st}f(t)\,dt \leq \sum_{k=n}^{+\infty} e^{-ks}f(k)\]Soit \(k \in \mathbb{N}\). Les fonctions \(f\) et \(t \mapsto e^{-st}\) sont décroissantes sur \([k, k+1]\), donc :
\[e^{-s(k+1)}f(k+1) \leq \int_k^{k+1} e^{-st}f(t)\,dt \leq e^{-sk}f(k)\]En sommant et faisant tendre \(N \to +\infty\), on obtient :
\[\int_0^{+\infty} e^{-st}f(t)\,dt \leq \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-ks}f(k) \leq \int_0^{+\infty} e^{-st}f(t)\,dt + f(0)\]Si \(f\) est croissante, on inverse les encadrements :
\[e^{-sk}f(k) \leq \int_k^{k+1} e^{-st}f(t)\,dt\]En sommant :
\[0 \leq \sum_{n \geq 0} e^{-ns}f(e^{-n}) - \int_0^{+\infty} e^{-st}f(e^{-t})\,dt \leq f(1)\]