Inégalités — Partie I

CPGE — Outillage fondamental · Ordre sur \(\mathbb{R}\) · Valeur absolue · Inégalité de Bernoulli
TABLE DES MATIÈRES
INDEX
Définitions
Relation d'ordre total→ Déf. 1
Valeur absolue→ Déf. 4
Intervalle centré, distance→ Déf. 5
Théorèmes & Propositions
Compatibilité avec l'addition→ Thm. 1
Compatibilité avec la multiplication→ Thm. 2
Propriétés de la valeur absolue→ Thm. 3
Inégalité triangulaire→ Thm. 4
Inégalité triangulaire généralisée→ Thm. 5
Inégalité de Bernoulli→ Thm. 6
AM-GM à deux termes→ Thm. 7
Méthodes
Passer à l'inverse→ Méthode 1
Majorer une valeur absolue→ Méthode 2

Introduction — Fil rouge

Les inégalités sont omniprésentes en mathématiques : encadrer une suite, contrôler une erreur, démontrer une convergence, optimiser une quantité. Pourtant, beaucoup d'erreurs en CPGE viennent d'un maniement approximatif des règles élémentaires — multiplier sans vérifier le signe, passer à l'inverse sans inverser le sens, élever au carré sur des réels de signe indéterminé.

Cette première partie pose les fondations. Sa maîtrise parfaite conditionne tout le reste.

🔴 Fil rouge — Inégalité arithmético-géométrique (AM-GM)

Tout au long de ce cours, l'inégalité AM-GM servira de fil conducteur : \[\forall\, a, b \geq 0,\quad \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\] Simple à énoncer, profonde à exploiter — elle réapparaîtra à chaque partie avec un éclairage nouveau. Sa première démonstration complète figure en Section IV.

I — Ordre sur \(\mathbb{R}\)

I.1 Propriétés de l'ordre

Définition 1 — Relation d'ordre total

La relation \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\) est une relation d'ordre total : elle vérifie

La totalité distingue \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{C}\) : deux réels sont toujours comparables, deux complexes non. On ne peut pas ordonner \(2+i\) et \(3+2i\) de façon cohérente avec les opérations.
Théorème 1 — Compatibilité avec l'addition

Pour tous \(a, b, c \in \mathbb{R}\) :

\[a \leq b \iff a + c \leq b + c\]

On peut ajouter ou soustraire le même réel des deux membres sans changer le sens.

Preuve. \(a + c \leq b + c \iff (b+c)-(a+c) \geq 0 \iff b - a \geq 0 \iff a \leq b.\) □

I.2 Compatibilité avec la multiplication

Théorème 2 — Compatibilité avec la multiplication

Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a \leq b\), et tout \(c \in \mathbb{R}\) :

Preuve. On a \(b - a \geq 0\). □
Multiplier par un négatif est un retournement de la droite réelle — il inverse l'ordre. Exemple concret : \(2 < 5\). Multiplié par \(-1\) : \(-2 > -5\), car \(-2\) est à droite de \(-5\).
Méthode 1 — Passer à l'inverse

Si \(0 < a \leq b\), alors \(\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}\). Le sens s'inverse.

Justification : multiplier \(a \leq b\) par \(\dfrac{1}{ab} > 0\) donne \(\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}\).

De même, si \(a \leq b < 0\), alors \(\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a} < 0\) (sens inversé, car \(ab > 0\) ici aussi).

Cas à risque : si \(a\) et \(b\) sont de signes opposés, il faut traiter les deux cas séparément.

I.3 Pièges classiques

Multiplier une inégalité par une expression dont on ne connaît pas le signe est l'une des erreurs les plus fréquentes en CPGE. Toujours distinguer les cas selon le signe.
Exemple 1 — Division par un signe inconnu

Résoudre \(x(x-2) \leq 0\).

Erreur fréquente : diviser par \(x\) pour obtenir \(x-2 \leq 0\), soit \(x \leq 2\). Faux ! Si \(x < 0\), la division inverse le sens.

Méthode correcte : tableau de signes. Le produit est négatif ssi les facteurs sont de signes opposés :

\[x \in [0,\, 2]\]
Élever au carré n'est valide que si les deux membres sont positifs : \(0 \leq a \leq b \Rightarrow a^2 \leq b^2\). Mais \(-3 \leq 1\) n'implique pas \(9 \leq 1\).
Exemple 2 — Passage par la différence (sans élever au carré)

Montrer que pour \(a, b > 0\) : \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\).

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} \geq 0\]

car \((a-b)^2 \geq 0\) et \(ab > 0\). Égalité ssi \(a = b\).

I.4 Complément — \(\mathbb{R}\) est archimédien

Complément — Propriété d'Archimède (Jean Wacksmann)

Une propriété fondamentale de \(\mathbb{R}\), souvent utilisée sans être nommée :

\[\forall\, x \in \mathbb{R},\quad \exists\, n \in \mathbb{N},\quad n > x\]

Les entiers naturels ne sont pas majorés dans \(\mathbb{R}\) — il n'existe pas de nombre « infiniment grand » dans \(\mathbb{R}\).

Conséquence clé : pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(n \in \mathbb{N}^*\) tel que \(\dfrac{1}{n} < \varepsilon\). C'est ce qui permet de « rendre \(\frac{1}{n}\) aussi petit qu'on veut » — fondement de toutes les preuves de limite en \(+\infty\).

Preuve de la conséquence. Donné \(\varepsilon > 0\). Par Archimède appliqué à \(x = \frac{1}{\varepsilon}\), il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n > \frac{1}{\varepsilon}\). Comme \(n > 0\) et \(\varepsilon > 0\) : \(\frac{1}{n} < \varepsilon\). □
Cette propriété distingue \(\mathbb{R}\) des corps non-archimédiens (comme les hyperréels), où existent de vrais infinis. En analyse classique, c'est elle qui rend les limites bien définies.

II — Valeur absolue

II.1 Définition et sens géométrique

Définition 4 — Valeur absolue

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

\[|x| = \max(x, -x) = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\]
Sens géométrique : \(|x|\) est la distance de \(x\) à \(0\) sur la droite réelle. Plus généralement, \(|x - a|\) est la distance de \(x\) à \(a\). Résoudre \(|x - a| \leq r\), c'est trouver les points à distance au plus \(r\) de \(a\).
Définition 5 — Intervalle centré

Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\) :

\[|x - a| \leq r \iff x \in [a-r,\, a+r] \qquad\qquad |x - a| < r \iff x \in\, ]a-r,\, a+r[\]
Exemple 3 — Résolution par intervalle centré

Résoudre \(|2x - 3| \leq 5\).

On écrit \(2|x - \frac{3}{2}| \leq 5\), soit \(|x - \frac{3}{2}| \leq \frac{5}{2}\). Donc : \[\frac{3}{2} - \frac{5}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \iff -1 \leq x \leq 4\]

Solution : \(x \in [-1,\, 4]\).

II.2 Propriétés fondamentales

Théorème 3 — Propriétés de la valeur absolue

Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\) :

  1. \(|x| \geq 0\), et \(|x| = 0 \iff x = 0\)
  2. \(|-x| = |x|\)  (symétrie)
  3. \(|xy| = |x|\,|y|\)  (multiplicativité)
  4. \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\) pour \(y \neq 0\)
  5. \(|x|^2 = x^2\)
  6. \(-|x| \leq x \leq |x|\)  (encadrement fondamental)
Preuve de (3) — multiplicativité. \(|xy|^2 = (xy)^2 = x^2y^2 = |x|^2|y|^2 = (|x||y|)^2\). Comme \(|xy| \geq 0\) et \(|x||y| \geq 0\), on conclut \(|xy| = |x||y|\) en passant à la racine carrée (fonction croissante sur \(\mathbb{R}_+\)). □
Preuve de (6). Si \(x \geq 0\) : \(|x| = x\), donc \(-|x| = -x \leq 0 \leq x = |x|\). ✓
Si \(x < 0\) : \(|x| = -x > 0\), donc \(-|x| = x\) et \(x < 0 < -x = |x|\). ✓ □
Remarque

La propriété (6) — \(-|x| \leq x \leq |x|\) — est l'encadrement fondamental qui intervient dans presque toutes les preuves de limite par définition.

II.3 Inégalité triangulaire

Théorème 4 — Inégalité triangulaire
\[\forall\, x, y \in \mathbb{R},\quad |x + y| \leq |x| + |y|\]

Variante — inégalité triangulaire inversée :

\[\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|\]
Preuve de l'inégalité directe. Par la propriété (6) appliquée à \(x\) et \(y\) : \[-|x| \leq x \leq |x| \qquad \text{et} \qquad -|y| \leq y \leq |y|\] En additionnant : \(-(|x|+|y|) \leq x+y \leq |x|+|y|\). Comme \(|t| \leq M \iff -M \leq t \leq M\), on conclut \(|x+y| \leq |x|+|y|\). □
Pourquoi « triangulaire » ? En géométrie, un côté d'un triangle est inférieur à la somme des deux autres. Ici : « aller de \(0\) à \(x+y\) » est au plus aussi long que « aller de \(0\) à \(x\), puis de \(x\) à \(x+y\) ». C'est un chemin sur la droite réelle.
Preuve de l'inégalité inversée. On applique l'inégalité directe à \(x = (x-y)+y\) : \[|x| \leq |x-y| + |y| \implies |x| - |y| \leq |x-y|\] Par symétrie (échange de \(x\) et \(y\)) : \(|y| - |x| \leq |y-x| = |x-y|\). Donc \(\big||x|-|y|\big| \leq |x-y|\). □
Théorème 5 — Inégalité triangulaire généralisée

Pour tous \(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}\) :

\[|x_1 + x_2 + \cdots + x_n| \leq |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n|\]
Preuve par récurrence. Initialisation : \(n = 2\) est le Théorème 4. ✓
Hérédité : si le résultat est vrai au rang \(n\), alors : \[|x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}| \leq |x_1 + \cdots + x_n| + |x_{n+1}| \leq \sum_{k=1}^n |x_k| + |x_{n+1}| = \sum_{k=1}^{n+1}|x_k|\] □

II.4 Applications — Majorer une valeur absolue

Méthode 2 — Majorer une valeur absolue

Pour montrer que \(|f(x)| \leq M\), les outils principaux sont :

  1. Inégalité triangulaire : \(|A + B| \leq |A| + |B|\), puis majorer chaque terme.
  2. Multiplicativité : \(|A \cdot B| = |A| \cdot |B|\), puis majorer chaque facteur.
  3. Encadrement direct : montrer \(-M \leq f(x) \leq M\).
  4. Monotonie : si \(f\) croissante sur \([a,b]\), alors \(f(a) \leq f(x) \leq f(b)\).
Exemple 4 — Majoration sur un intervalle

Soit \(x \in [-1, 1]\). Majorer \(|x^3 - 2x + 1|\).

Par inégalité triangulaire :

\[|x^3 - 2x + 1| \leq |x^3| + 2|x| + 1 = |x|^3 + 2|x| + 1\]

Comme \(|x| \leq 1\) sur \([-1,1]\) : \(|x|^3 \leq 1\) et \(2|x| \leq 2\), donc \(|x^3 - 2x + 1| \leq 4\).

Cette borne est grossière mais souvent suffisante pour majorer un reste dans une somme.

Exemple 5 — Application à une limite

Montrer que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{n+\cos n}{n+1} = 1\).

On majore l'écart à la limite :

\[\left|\frac{n + \cos n}{n+1} - 1\right| = \frac{|\cos n - 1|}{n+1} \leq \frac{|\cos n| + 1}{n+1} \leq \frac{2}{n+1}\]

Par Archimède, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que \(\frac{2}{N+1} < \varepsilon\). Pour tout \(n \geq N\), l'écart est inférieur à \(\varepsilon\) : la limite est \(1\).

Exercice 1

Résoudre \(|x^2 - 4| \leq x + 2\). On distinguera les cas selon le signe de \(x^2 - 4\).

Exercice 2

Soit \((u_n)\) une suite vérifiant \(|u_n - \ell| \leq \dfrac{3}{n}\) pour tout \(n \geq 1\). Montrer que \(u_n \to \ell\). Que peut-on encadrer si \(\ell = 2\) et \(n \geq 100\) ?

III — Inégalité de Bernoulli

III.1 Énoncé et preuves

Théorème 6 — Inégalité de Bernoulli

Pour tout \(x \geq -1\) et tout entier \(n \geq 1\) :

\[(1 + x)^n \geq 1 + nx\]
Comment lire cette inégalité ? La courbe \(x \mapsto (1+x)^n\) est au-dessus de sa tangente en \(x = 0\), qui est \(y = 1+nx\). C'est la convexité de la puissance — que nous retrouverons formellement avec Jensen (Partie III).
Preuve 1 — Récurrence sur \(n\). Initialisation : \(n = 1\) : \((1+x)^1 = 1+x\). Égalité. ✓
Hérédité : supposons \((1+x)^n \geq 1 + nx\). Comme \(x \geq -1\), on a \(1+x \geq 0\), donc on multiplie sans inverser le sens : \[(1+x)^{n+1} \geq (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x\] car \(nx^2 \geq 0\). ✓ □
Preuve 2 — Binôme de Newton (pour \(x \geq 0\)). \[(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k = 1 + nx + \binom{n}{2}x^2 + \cdots \geq 1 + nx\] car tous les termes d'indice \(k \geq 2\) sont positifs pour \(x \geq 0\). □
Remarque — Quelle preuve retenir ?

La preuve 2 est plus élégante mais ne vaut que pour \(x \geq 0\). Pour \(-1 \leq x < 0\), les termes \(x^k\) alternent en signe et on ne peut pas conclure directement. La récurrence (Preuve 1) est la preuve universelle.

III.2 Cas d'égalité

Proposition — Cas d'égalité dans Bernoulli

Pour \(n \geq 2\) et \(x \geq -1\) :

\[(1+x)^n = 1 + nx \iff x = 0\]
Preuve. Dans la récurrence, l'hérédité utilise \(nx^2 \geq 0\). Ce terme est nul ssi \(x = 0\). Pour \(n \geq 2\), l'inégalité est donc stricte dès que \(x \neq 0\). □
Identifier les cas d'égalité est aussi important que l'inégalité elle-même. Le minimum ou maximum d'un problème d'optimisation est souvent atteint précisément au cas d'égalité.

III.3 Applications

Exemple 6 — La suite \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)

Montrer que \(u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \geq 2\) pour tout \(n \geq 1\).

Bernoulli avec \(x = \dfrac{1}{n} \geq 0\) :

\[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \geq 1 + n \cdot \frac{1}{n} = 2\]

Cette suite tend vers \(e \approx 2{,}718\ldots\) — nous l'encadrerons précisément dans la Partie IV.

Exemple 7 — Comparaison \(2^n\) et \(n^2\)

Montrer que \(2^n \geq n^2\) pour tout entier \(n \geq 4\).

Initialisation : \(n = 4\) : \(16 = 16\). ✓
Hérédité : si \(2^n \geq n^2\), alors \(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2n^2\). Il suffit de vérifier \(2n^2 \geq (n+1)^2\), soit \(n^2 - 2n - 1 \geq 0\), vrai pour \(n \geq 3\). ✓

Exercice 3

Montrer par récurrence que pour tout \(n \geq 1\) : \(\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right)^n \leq \dfrac{1}{2}\).

III.4 Complément — Bernoulli pour les exposants réels

Complément — Bernoulli réel et convexité (Jean Wacksmann)

L'inégalité de Bernoulli se généralise aux exposants réels :

Ces inégalités découlent de la convexité (resp. concavité) de \(t \mapsto t^\alpha\) sur \(\mathbb{R}_+\), que nous retrouverons avec l'inégalité de Jensen en Partie III.

Cas \(\alpha = \frac{1}{2}\) : \(\sqrt{1+x} \leq 1 + \dfrac{x}{2}\). Très utile pour encadrer des racines carrées — par exemple majorer \(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\).

IV — Fil rouge : premières preuves de AM-GM

Nous disposons maintenant de tous les outils de la Partie I pour démontrer l'inégalité AM-GM à deux termes. Chaque preuve illustre une technique différente que l'on retrouvera dans toute la suite.

Théorème 7 — Inégalité arithmético-géométrique (AM-GM, 2 termes)

Pour tous \(a, b \geq 0\) :

\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\]

L'égalité a lieu si et seulement si \(a = b\).

Preuve 1 — Passage au carré. Les deux membres sont positifs, donc on peut comparer leurs carrés (\(t \mapsto t^2\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\)) : \[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \iff \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab \iff (a+b)^2 \geq 4ab \iff (a-b)^2 \geq 0 \checkmark\] Égalité ssi \(a = b\). □
Preuve 2 — Passage par la différence. \[\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geq 0\] Un carré est toujours positif. Égalité ssi \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\), i.e. \(a = b\). □
Remarque — Une même idée, deux formes

Les deux preuves reposent sur le fait fondamental : un carré est toujours positif. La diversité des formes prépare à la Partie II, où « passer par la différence » sera érigé en stratégie générale de preuve.

Méthode — Optimisation via AM-GM

Problème : parmi tous les rectangles de périmètre fixé \(2p\), lequel a l'aire maximale ?

Côtés \(a, b\) avec \(a + b = p\). Aire \(= ab\). Par AM-GM : \[ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{p^2}{4}\] Maximum atteint ssi \(a = b = \dfrac{p}{2}\) : c'est le carré.

🔴 Fil rouge — À venir

Dans la Partie II (Techniques de preuve), deux nouvelles preuves de AM-GM : par étude de fonction et par convexité. Dans la Partie III, généralisation à \(n\) termes et la chaîne \(\text{MQ} \geq \text{AM} \geq \text{GM} \geq \text{HM}\).

Exercice 4

Soient \(x, y > 0\) avec \(xy = 1\). Montrer que \(x + y \geq 2\). En déduire que pour tous \(a, b > 0\) : \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\).

Exercice 5

Montrer que pour tous réels \(x, y\) : \(x^2 + y^2 \geq 2xy\). Sous quelle forme reconnaît-on AM-GM ? Généraliser à \(x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx\).