Optique Géométrique

Définition — Indice de réfraction

\[n = \frac{c}{v}\]

où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide et \(v\) sa vitesse dans le milieu.

Rappel

\(n \geq 1\) (avec \(n = 1\) dans le vide). Pour l'eau : \(n \approx 1{,}33\) ; pour le verre courant : \(n \approx 1{,}5\).

1.2 Lois de Snell-Descartes

Pour un rayon incident arrivant sur un dioptre séparant deux milieux d'indices \(n_1\) et \(n_2\) :

Lois de Snell-Descartes

Réflexion : les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d'incidence.
Réflexion : l'angle de réflexion \(\theta_2\) vérifie \(\theta_2 = -\theta_1\) (en valeur algébrique).
Réfraction : \[n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\]
Réflexion totale : si \(n_1 > n_2\), il y a réflexion totale pour \(\theta_1 > \theta_{\text{lim}}\), avec \[\theta_{\text{lim}} = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\]

1.3 Principe du retour inverse de la lumière

Principe

Le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de propagation : les lois sont symétriques.

1.4 Conditions de Gauss (rayons paraxiaux)

Définition — Approximation de Gauss

Pour obtenir un stigmatisme et un aplantisme approchés, on suppose :

Les rayons sont proches de l'axe optique (\(\theta \approx \sin\theta \approx \tan\theta\)).
Les rayons sont peu écartés de l'axe (hauteur d'incidence petite devant les rayons de courbure).

Ces conditions définissent le domaine paraxial.

2 — Dioptres

2.1 Dioptre sphérique

Un dioptre sphérique est une surface sphérique de centre \(C\) et de sommet \(S\), séparant deux milieux d'indices \(n_1\) et \(n_2\). Le rayon est \(R = \overline{SC}\).

2.1.1 Vergence et foyers

Vergence du dioptre sphérique

\[V = \frac{n_2 - n_1}{R} = \frac{n_2}{\overline{SF'}} = -\frac{n_1}{\overline{SF}}\]

Si \(V > 0\) : dioptre convergent ; si \(V < 0\) : divergent.
Foyer image \(F'\) : image d'un point à l'infini sur l'axe.
Foyer objet \(F\) : objet dont l'image est à l'infini.

2.1.2 Relations de conjugaison

Relations de conjugaison — dioptre sphérique

Origine au sommet \(S\) : \[\frac{n_2}{\overline{SA'}} - \frac{n_1}{\overline{SA}} = \frac{n_2 - n_1}{R} = V\]
Origine au centre \(C\) : \[\frac{n_1}{\overline{CA'}} - \frac{n_2}{\overline{CA}} = -\frac{n_2 - n_1}{R}\]
Origine aux foyers (Newton) : \[\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{F'A'} = \overrightarrow{SF'} \cdot \overrightarrow{SF}\]

2.1.3 Grandissement transversal

Grandissement transversal

\[\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{n_1\,\overline{SA'}}{n_2\,\overline{SA}} = \frac{\overline{CA'}}{\overline{CA}} = \frac{\overline{FR}}{\overline{SF}} = -\frac{\overline{SF'}}{\overline{F'A'}}\]

2.2 Dioptre plan

Dioptre plan (\(R \to \infty\))

La relation de conjugaison devient :

\[\frac{n_2}{\overline{SA'}} = \frac{n_1}{\overline{SA}}\]

Le grandissement vaut \(\gamma = 1\).

3 — Éléments complémentaires

2.3 Lame à faces parallèles

Décalage latéral

Le décalage latéral d'un rayon traversant une lame d'épaisseur \(e\) et d'indice \(n_{int}\) dans un milieu extérieur d'indice \(n_{ext}\) est :

\[\overrightarrow{AA'} = e\left(\frac{n_{int} - n_{ext}}{n_{int}}\right)\]

2.4 Miroir sphérique

Relations du miroir sphérique

On obtient les relations du miroir sphérique en remplaçant \(n_2\) par \(-n_1\) dans les formules du dioptre sphérique (le signe négatif traduit le changement de sens de propagation après réflexion).

La vergence vaut \(V = -\dfrac{2n_1}{R} = \dfrac{2n_1}{\overrightarrow{SC}}\).

3 — Systèmes centrés

Un système centré est constitué de plusieurs surfaces de révolution autour d'un axe commun.

3.1 Points et plans principaux

Points et plans principaux

Plan principal image (PPI) : lieu des points d'intersection des rayons incidents parallèles à l'axe avec les rayons émergeants correspondants (qui passent par \(F'\)). Son intersection avec l'axe est \(H'\).
Plan principal objet (PPO) : lieu des points d'intersection des rayons incidents passant par \(F\) avec les rayons émergeants parallèles à l'axe. Son intersection avec l'axe est \(H\).

Propriété : \(H\) et \(H'\) sont conjugués avec un grandissement \(\gamma = 1\).

3.2 Points nodaux

Points nodaux

Ce sont deux points \(N\) et \(N'\) sur l'axe tels qu'un rayon incident passant par \(N\) émerge parallèlement à lui-même en passant par \(N'\). Le grandissement angulaire associé à \(G = -1\).

3.3 Distances focales et vergence

Distances focales et vergence

\[f = \overline{HF}, \quad f' = \overline{H'F'}, \quad V = \frac{n'}{f'} = -\frac{n}{f} \quad \text{(en dioptries, m}^{-1}\text{)}\]

\(V > 0\) : convergent ; \(V < 0\) : divergent.

3.4 Relations de conjugaison

Relations de conjugaison — système centré

Origine aux points principaux : \[\frac{n'}{\overline{H'A'}} - \frac{n}{\overline{HA}} = \frac{n'}{f'} = V\]
Formule de Newton (origine aux foyers) : \[\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{F'A'} = f \cdot f'\]
Grandissement transversal : \[\gamma = \frac{\overline{H'A'}}{\ \overline{HA}} = -\frac{f}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'}\]
Relation de Lagrange-Helmholtz : \[\frac{f'}{f} = -\frac{n'}{n}\]

3.5 Association de deux systèmes centrés

Soit deux systèmes \(S_1\) et \(S_2\) de vergences \(V_1\), \(V_2\), séparés par une distance \(e\) (entre leurs points principaux) et avec un milieu intermédiaire d'indice \(N\).

Distances focales équivalentes

\[f' = -\frac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}, \quad f = -\frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2 - e}\]

Position des foyers et points principaux

Pour déterminer \(F'\), on conjugue \(F_1'\) à travers \(S_2\) : on obtient ensuite \(H'\) par la relation \(\overrightarrow{H'F'} = -\frac{n'}{N}V_1\). De même, \(F\) et \(H\) se trouvent par des constructions symétriques.

4 — Lentilles minces

Une lentille mince est un système centré de deux dioptres dont l'épaisseur \(e\) est négligeable devant les rayons de courbure.

4.1 Types

Types de lentilles minces

Lentille convergente (\(V > 0\)) : bords minces.
Lentille divergente (\(V < 0\)) : bords épais.

4.2 Propriétés

Points principaux et foyers

Les points principaux sont confondus avec le centre optique \(O\) de la lentille : \(H = H' = O\). La distance focale image est \(f' = \overrightarrow{OF'}\) et la distance focale objet vérifie \(f = -f'\).

4.3 Relations de conjugaison

Relations de conjugaison — lentille mince

Origine au centre optique : \[\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = V\]
Formule de Newton : \[\overrightarrow{F'A'} \cdot \overrightarrow{FA} = -f'^2\]
Grandissement : \[\gamma = \frac{\overrightarrow{OA'}}{\overrightarrow{OA}}\]

4.4 Association de lentilles

Lentilles accolées (distance nulle)

\[\frac{1}{f'} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'}\]

Lentilles séparées par une distance \(d\) avec \(N = 1\) (air)

On applique les formules d'association des systèmes centrés avec \(e = d\) et \(N = 1\). La vergence équivalente est :

\[V = V_1 + V_2 - d\,V_1 V_2\]

Remarque finale

Ce résumé reprend les éléments essentiels du cours. Pour une maîtrise complète, il est conseillé de s'exercer sur des constructions géométriques et des calculs de conjugaison.