Vocabulaire, opérations et comptage — la boîte à outils des probabilités
Avant de parler de hasard, il faut un langage pour parler d'ensembles — car en probabilités,
tout est un ensemble : l'univers \(\Omega\) est un ensemble d'issues, un événement
est une partie de \(\Omega\), et « \(A\) ou \(B\) », « \(A\) et \(B\) », « non \(A\) » ne sont que des
opérations sur ces parties. Ce chapitre installe le vocabulaire strictement nécessaire, et
surtout il te donne l'image qui va avec : le diagramme de Venn. Une fois qu'on
voit une réunion ou un complémentaire, on ne s'y trompe plus.
Dans un second temps, on apprend à compter les ensembles finis — le cardinal — car en probabilités, calculer une chance, c'est le plus souvent dénombrer.
(Pour le traitement complet — ensemble des parties, applications, images directe et réciproque —
voir « Ensembles — Partie I ».)
1. Vocabulaire de base
Définition — Ensemble, élément, appartenance
Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. Si
\(x\) est un élément de l'ensemble \(E\), on écrit \(x \in E\) (« \(x\) appartient à
\(E\) ») ; sinon \(x \notin E\). On décrit un ensemble de deux façons :
en extension, par la liste de ses éléments : \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ;
en compréhension, par une propriété caractéristique :
\(E = \{\, n \in \mathbb{N} \ :\ 1 \leqslant n \leqslant 6 \,\}\).
Définition — Ensemble vide, singleton
L'ensemble vide, noté \(\varnothing\), est l'ensemble qui n'a
aucun élément.
Un singleton est un ensemble à un seul élément : \(\{a\}\).
Définition — Inclusion, partie (sous-ensemble)
On dit que \(A\) est inclus dans \(B\), noté \(A \subset B\), lorsque tout élément de
\(A\) est aussi élément de \(B\) :
\[ A \subset B \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(\text{pour tout } x,\ \ x \in A \Rightarrow x \in B\bigr). \]
On dit alors que \(A\) est une partie (ou un sous-ensemble) de \(B\).
\(A \subset B\) : le disque \(A\) est entièrement dans \(B\).
Ne confonds jamais \(\in\) et \(\subset\). \(\in\) relie un élément à un
ensemble ; \(\subset\) relie un ensemble à un ensemble. Avec \(E = \{1, 2, 3\}\) :
on a \(2 \in E\) (l'élément \(2\) appartient à \(E\)), et \(\{2\} \subset E\) (le sous-ensemble
\(\{2\}\) est inclus dans \(E\)) — mais \(2 \subset E\) et \(\{2\} \in E\) n'ont, eux, pas de sens
ici. C'est exactement la distinction, en probabilités, entre une issue \(\omega\) et
l'événement élémentaire \(\{\omega\}\).
Vocabulaire de l'inclusion
Lorsque \(A \subset B\), on dit indifféremment que \(A\) est un sous-ensemble de
\(B\), une partie de \(B\), ou encore que \(A\) est contenu dans
\(B\).
L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble
L'ensemble vide \(\varnothing\) ne contient aucun élément ; c'est un
sous-ensemble de tout ensemble \(E\), autrement dit \(\varnothing \subset E\). En
effet, l'implication « \(x \in \varnothing \Rightarrow x \in E\) » ne peut jamais être prise en
défaut, faute d'un seul \(x \in \varnothing\) qui la contredirait : elle est vraie par défaut.
🧭 Méthode — Montrer une égalité d'ensembles (double inclusion)
Deux ensembles sont égaux lorsqu'ils ont les mêmes éléments. En pratique, pour prouver \(A = B\) :
montrer \(A \subset B\) : on prend \(x \in A\) quelconque, et on établit \(x \in B\) ;
montrer \(B \subset A\) : on prend \(x \in B\) quelconque, et on établit \(x \in A\).
Les deux inclusions ensemble donnent \(A = B\). C'est la technique de preuve de tout ce
chapitre.
🔗 L'ensemble des parties \(\mathcal{P}(E)\)
L'ensemble de toutes les parties de \(E\) se note \(\mathcal{P}(E)\). Par exemple,
\(\mathcal{P}(\{a,b\}) = \bigl\{\, \varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a,b\} \,\bigr\}\). En probabilités,
« événement = partie de \(\Omega\) » signifie exactement « événement \(\in \mathcal{P}(\Omega)\) ».
On retiendra que si \(E\) a \(n\) éléments, alors \(\mathcal{P}(E)\) en a \(2^n\) (démontré au §9).
Définition — Famille, famille de parties
Rappelons qu'une partie de \(E\) est un sous-ensemble de \(E\) :
les deux mots sont synonymes — c'est un élément de \(\mathcal{P}(E)\).
Une famille d'objets indexée par un ensemble \(I\) est la donnée, pour chaque
indice \(i \in I\), d'un objet \(A_i\) ; on la note \((A_i)_{i \in I}\). Une famille
finie \((A_1, A_2, \dots, A_k)\) correspond à \(I = \{1, 2, \dots, k\}\). Une
famille de parties de \(E\) est donc, tout simplement, plusieurs
sous-ensembles de \(E\) étiquetés par un indice : à chaque \(i \in I\) on associe une
partie \(A_i \subset E\).
Exemple
Sur \(E = \{1,2,3,4,5,6\}\), poser \(A_1 = \{1,2\}\), \(A_2 = \{3,4\}\), \(A_3 = \{5,6\}\) définit une
famille de trois parties de \(E\). Chaque \(A_i\) est une partie (un sous-ensemble) ; la famille, c'est
la collection ordonnée de ces trois-là. (Ici, c'est même une partition — voir §4.)
Pourquoi « famille » et pas « ensemble de parties » ?
L'indexation apporte trois choses qu'un simple ensemble n'aurait pas :
un nom pour chaque part, ce qui permet d'écrire des conditions comme
\(A_i \cap A_j = \varnothing\) pour \(i \neq j\), ou des sommes \(\sum_i \lvert A_i \rvert\) ;
un ordre implicite (via l'indice) ;
la possibilité de répétitions : rien n'interdit \(A_1 = A_3\) dans une famille
(dans une partition, en revanche, les parts sont non vides et deux à deux disjointes,
donc distinctes).
En probabilités, un système complet d'événements \((B_1, \dots, B_n)\) est exactement
une famille de parties de \(\Omega\) — une famille d'événements — soumise aux conditions d'une
partition.
2. Les quatre opérations (et leurs diagrammes)
Toutes les opérations ci-dessous se lisent d'un coup d'œil sur un diagramme de Venn :
un grand rectangle représente l'ensemble de référence \(\Omega\), et chaque partie \(A\), \(B\)… un
disque. La zone coloriée est le résultat de l'opération. Garde ces images en tête : elles
ne prouvent rien à elles seules, mais elles empêchent presque toutes les erreurs.
Réunion
Définition — Réunion
La réunion de \(A\) et \(B\), notée \(A \cup B\), est l'ensemble des éléments qui
sont dans \(A\) ou dans \(B\) (au sens inclusif : dans l'un, dans l'autre, ou dans
les deux) :
\[ A \cup B = \{\, x \ :\ x \in A \ \text{ ou } \ x \in B \,\}. \]
\(A \cup B\) — « \(A\) ou \(B\) »
Intersection
Définition — Intersection ; ensembles disjoints
L'intersection de \(A\) et \(B\), notée \(A \cap B\), est l'ensemble des éléments qui
sont dans \(A\) et dans \(B\) :
\[ A \cap B = \{\, x \ :\ x \in A \ \text{ et } \ x \in B \,\}. \]
Lorsque \(A \cap B = \varnothing\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints
(en probabilités : incompatibles).
\(A \cap B\) — « \(A\) et \(B\) »\(A \cap B = \varnothing\) : \(A\) et \(B\) disjoints.
Complémentaire
Définition — Complémentaire
On se place dans un ensemble de référence \(\Omega\) (l'univers). Le complémentaire
de \(A\) dans \(\Omega\), noté \(\overline{A}\) (ou \(A^{c}\)), est
l'ensemble des éléments de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(A\) :
\[ \overline{A} = \{\, x \in \Omega \ :\ x \notin A \,\}. \]
\(\overline{A}\) — « non \(A\) » : tout \(\Omega\) sauf \(A\).
Différence
Définition — Différence
La différence \(A \setminus B\) (« \(A\) privé de \(B\) ») est l'ensemble des
éléments qui sont dans \(A\) mais pas dans \(B\) :
\[ A \setminus B = \{\, x \ :\ x \in A \ \text{ et } \ x \notin B \,\} = A \cap \overline{B}. \]
Le complémentaire en est le cas particulier où l'on retire \(A\) de l'univers entier :
\(\overline{A} = \Omega \setminus A\).
\(A \setminus B\) — la partie de \(A\) hors de \(B\).
3. Propriétés : la logique cachée derrière les ensembles
Les mots « et », « ou », « non » ont des règles — et comme \(\cap\), \(\cup\), complémentaire les
traduisent, ces opérations héritent des mêmes règles. En voici les plus utiles pour les probabilités.
Proposition — Règles de calcul admis (sauf De Morgan)
Pour toutes parties \(A, B, C\) d'un ensemble \(\Omega\) :
Commutativité : \(A \cup B = B \cup A\) et \(A \cap B = B \cap A\).
Associativité : \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\), de même pour \(\cap\).
Distributivité :
\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) et
\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
Pour toutes parties \(A\) et \(B\) de \(\Omega\) :
\[ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}
\qquad\text{et}\qquad
\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}. \]
« Non (\(A\) ou \(B\)) » équivaut à « (non \(A\)) et (non \(B\)) », et symétriquement.
Démonstration (première égalité, par double inclusion « au niveau des éléments »).
Soit \(x \in \Omega\). On a la chaîne d'équivalences :
\(x \in \overline{A \cup B}\) signifie \(x \notin A \cup B\), c'est-à-dire que \(x\) n'est ni dans
\(A\) ni dans \(B\) ; or « \(x \notin A\) » s'écrit \(x \in \overline{A}\), et « \(x \notin B\) »
s'écrit \(x \in \overline{B}\) ; donc \(x \in \overline{A \cup B}\) équivaut à
\(\bigl(x \in \overline{A}\ \text{et}\ x \in \overline{B}\bigr)\), soit
\(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\). Les deux ensembles ont les mêmes éléments : ils sont égaux.
La seconde égalité s'obtient de la même façon (ou en appliquant la première à \(\overline{A}\) et
\(\overline{B}\), puis en prenant le complémentaire et en utilisant \(\overline{\overline{A}} = A\)).
∎
Ensembles
Logique / langage courant
\(x \in A \cup B\)
\(x \in A\) ou \(x \in B\)
\(x \in A \cap B\)
\(x \in A\) et \(x \in B\)
\(x \in \overline{A}\)
non (\(x \in A\))
\(A \subset B\)
\(x \in A\) implique \(x \in B\)
Les opérations ensemblistes sont les connecteurs logiques déguisés.
4. Partitionner un ensemble
Définition — Partition
Une partition d'un ensemble \(\Omega\) est une famille de parties
\((A_1, A_2, \dots, A_n)\) telle que :
aucune n'est vide : \(A_i \neq \varnothing\) ;
elles sont deux à deux disjointes : \(A_i \cap A_j = \varnothing\) pour \(i \neq j\) ;
leur réunion est \(\Omega\) tout entier : \(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega\).
Chaque élément de \(\Omega\) appartient alors à une et une seule des parties \(A_i\).
Une partition découpe \(\Omega\) en morceaux disjoints qui le recouvrent.
Le pont avec les probabilités
Une partition de \(\Omega\), c'est exactement ce qu'on appellera un système complet
d'événements : la structure qui porte la formule des probabilités totales. Le cas le plus
simple est \(\bigl(A,\ \overline{A}\bigr)\), qui partage \(\Omega\) en « \(A\) » et « non \(A\) ».
5. Le produit cartésien
Quand une expérience combine deux tirages (deux dés, deux cartes…), une issue n'est plus un
nombre seul, mais un couple. L'ensemble de tous ces couples, c'est le produit
cartésien.
Définition — Produit cartésien
Le produit cartésien de \(A\) et \(B\), noté \(A \times B\), est l'ensemble des
couples ordonnés \((a, b)\) avec \(a \in A\) et \(b \in B\) :
\[ A \times B = \{\, (a, b) \ :\ a \in A,\ b \in B \,\}. \]
Si \(A\) et \(B\) sont finis, \(\;\lvert A \times B \rvert = \lvert A \rvert \times \lvert B \rvert\) (démontré au §8).
On note \(A^2 = A \times A\), et plus généralement \(A^n\) pour les \(n\)-uplets.
Exemple — les deux dés
Avec \(D = \{1,2,3,4,5,6\}\), l'univers de deux dés discernables est
\(\Omega = D \times D = D^2\), l'ensemble des couples \((i,j)\). Il compte
\(\lvert D^2 \rvert = 6 \times 6 = 36\) issues. C'est précisément l'univers utilisé dans le cours de
probabilités.
Un couple est ordonné : \((1,6)\) et \((6,1)\) sont deux éléments différents
de \(D^2\). C'est pour cela qu'on distingue les deux dés — et c'est ce qui donne \(36\) issues, pas
\(21\).
6. Le cardinal
Définition — Ensemble fini, cardinal
Un ensemble \(E\) est fini lorsqu'il possède un nombre fini d'éléments. Ce nombre
s'appelle le cardinal de \(E\), noté \(\lvert E \rvert\) (on rencontre aussi
\(\operatorname{card}(E)\) ou \(\#E\)). En particulier \(\lvert \varnothing \rvert = 0\) et
\(\lvert \{a\} \rvert = 1\).
Ce que « compter » veut dire, au fond
Compter les éléments de \(E\), c'est les mettre en correspondance un à un avec
\(\{1, 2, \dots, n\}\) : dire \(\lvert E \rvert = n\), c'est affirmer qu'il existe une
bijection entre \(E\) et \(\{1, \dots, n\}\). Deux ensembles finis ont donc le même cardinal
si et seulement s'il existe une bijection entre eux. C'est cette idée — remplacer un ensemble
difficile à compter par un ensemble facile en bijection avec lui — qui est le vrai moteur du
dénombrement.
7. Le principe d'addition (compter un « ou »)
Proposition 1 — Addition pour des ensembles disjoints démontré
Si \(A\) et \(B\) sont disjoints (\(A \cap B = \varnothing\)), alors
\[ \lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert. \]
Plus généralement, si \((A_1, \dots, A_k)\) est une partition d'un ensemble fini
\(E\), alors \(\;\lvert E \rvert = \lvert A_1 \rvert + \lvert A_2 \rvert + \dots + \lvert A_k \rvert\).
Démonstration.
Comme \(A\) et \(B\) n'ont aucun élément commun, énumérer les éléments de \(A \cup B\) revient à
énumérer d'abord ceux de \(A\), puis ceux de \(B\), sans jamais repasser deux fois sur le même : on
liste ainsi exactement \(\lvert A \rvert + \lvert B \rvert\) éléments distincts. Le cas d'une partition
s'en déduit en regroupant les morceaux de proche en proche.
∎
Corollaire — Cardinal du complémentaire démontré
Pour toute partie \(A\) d'un ensemble fini \(\Omega\),
\[ \lvert \overline{A} \rvert = \lvert \Omega \rvert - \lvert A \rvert. \]
Démonstration.
\(A\) et \(\overline{A}\) sont disjoints et de réunion \(\Omega\) : ils forment une partition de
\(\Omega\). La Proposition 1 donne \(\lvert \Omega \rvert = \lvert A \rvert + \lvert \overline{A} \rvert\),
d'où le résultat.
∎
🧭 Réflexe — « au moins un » se compte souvent par le contraire
Quand « au moins un… » est pénible à énumérer, compte plutôt son contraire « aucun… » et retranche de
\(\lvert \Omega \rvert\). C'est le pendant, pour les cardinaux, du passage au complémentaire
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
Théorème — Formule du crible (deux ensembles) démontré
Pour deux parties finies quelconques \(A\) et \(B\) (disjointes ou non),
\[ \lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert. \]
Démonstration.
Décomposons \(A \cup B\) en deux morceaux disjoints : \(A \cup B = A \cup (B \setminus A)\), avec
\(A \cap (B \setminus A) = \varnothing\). La Proposition 1 donne
\(\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \setminus A \rvert\). De même,
\(B = (A \cap B) \cup (B \setminus A)\) est une réunion disjointe, donc
\(\lvert B \rvert = \lvert A \cap B \rvert + \lvert B \setminus A \rvert\), soit
\(\lvert B \setminus A \rvert = \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert\). En reportant,
\[ \lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert. \]
∎
La même formule, deux fois
On additionne \(\lvert A \rvert\) et \(\lvert B \rvert\), ce qui compte deux fois les
éléments communs ; on retranche donc \(\lvert A \cap B \rvert\) une fois. C'est exactement la structure
du crible probabiliste \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) — les cardinaux et les probabilités
se répondent. La version à \(n\) ensembles (formule de Poincaré) s'obtient par récurrence, avec des
signes alternés.version générale admise
8. Le principe de multiplication (compter des choix successifs)
Combien de menus « entrée + plat + dessert » si l'on a \(3\) entrées, \(4\) plats, \(2\) desserts ?
Pour chacune des \(3\) entrées, on peut choisir l'un des \(4\) plats, et pour chaque tel début, l'un
des \(2\) desserts : \(3 \times 4 \times 2 = 24\). C'est tout le principe : des choix
successifs indépendants se multiplient.
Proposition 2 — Cardinal d'un produit cartésien démontré
Pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\),
\[ \lvert A \times B \rvert = \lvert A \rvert \times \lvert B \rvert, \]
et plus généralement \(\;\lvert A_1 \times A_2 \times \dots \times A_k \rvert = \lvert A_1 \rvert \times \dots \times \lvert A_k \rvert\).
En particulier \(\lvert A^n \rvert = \lvert A \rvert^{\,n}\).
Démonstration.
Regroupons les couples de \(A \times B\) selon leur première composante :
\[ A \times B = \bigcup_{a \in A} \bigl(\{a\} \times B\bigr), \]
réunion disjointe (deux couples de premières composantes différentes ne sont jamais égaux).
Chaque paquet \(\{a\} \times B\) est en bijection évidente avec \(B\) (via \((a,b) \mapsto b\)), donc de
cardinal \(\lvert B \rvert\). Le principe d'addition donne alors
\[ \lvert A \times B \rvert = \sum_{a \in A} \lvert B \rvert = \lvert A \rvert \times \lvert B \rvert. \]
Le cas de \(k\) facteurs s'obtient par récurrence.
∎
Principe multiplicatif (forme pratique)
Si l'on construit un objet par une suite de \(k\) choix successifs, où le \(1^{\text{er}}\) offre
\(n_1\) possibilités, le \(2^{\text{e}}\) offre \(n_2\) possibilités (quel qu'ait été le premier
choix), …, le \(k^{\text{e}}\) en offre \(n_k\), alors le nombre total d'objets construits est
\[ n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k. \]
Exemples
Deux dés discernables : une issue est un couple \((i,j)\) avec
\(i, j \in \{1,\dots,6\}\), donc \(\lvert \{1,\dots,6\}^2 \rvert = 6 \times 6 = 36\).
Un code à \(4\) chiffres : \(4\) choix successifs parmi \(10\), soit
\(10^4 = 10\,000\) codes.
Théorème — \(\lvert \mathcal{P}(E) \rvert = 2^{\lvert E \rvert}\) démontré
Si \(E\) est un ensemble fini de cardinal \(n\), alors le nombre de parties de \(E\) est
\[ \lvert \mathcal{P}(E) \rvert = 2^{\,n}. \]
Démonstration.
Choisir une partie \(A \subset E\), c'est décider, pour chacun des \(n\) éléments de
\(E\), s'il est dans \(A\) ou non — soit \(2\) possibilités par élément. Formellement, à chaque partie
\(A\) on associe sa suite d'appartenances \((\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n) \in \{0,1\}^n\), où
\(\varepsilon_i = 1\) si le \(i\)-ème élément est dans \(A\), et \(0\) sinon. Cette correspondance est
une bijection entre \(\mathcal{P}(E)\) et \(\{0,1\}^n\). Or, par le principe multiplicatif,
\(\lvert \{0,1\}^n \rvert = 2^n\). Donc \(\lvert \mathcal{P}(E) \rvert = 2^n\).
∎
Exemple
Pour \(E = \{a, b, c\}\) (\(n = 3\)), on a \(2^3 = 8\) parties :
\(\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\},\ \{a,b,c\}\). On y retrouve bien
\(\varnothing\) et \(E\) tout entier.
🔗 Deux promesses tenues
Les résultats \(\lvert A \times B \rvert = \lvert A \rvert \lvert B \rvert\) (§8) et
\(\lvert \mathcal{P}(E) \rvert = 2^n\) (§9), simplement énoncés plus haut — l'un au §5, l'autre au §1 —
sans démonstration, viennent d'être établis, tous deux à partir des seuls principes d'addition et de
multiplication.
10. Le pont avec les probabilités
Tout ce chapitre existe pour une raison : dans un modèle équiprobable, calculer une
probabilité, c'est exactement compter.
Rappel — Probabilité dans un modèle équiprobable
Si \(\Omega\) est fini et les issues équiprobables, alors pour tout événement \(A\),
\[ P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}. \]
Calculer \(P(A)\) se ramène donc à deux dénombrements : celui de \(\Omega\) et celui de \(A\).
Exemple — la somme de deux dés vaut 7
Univers \(\Omega = \{1,\dots,6\}^2\), équiprobable, avec \(\lvert \Omega \rvert = 6 \times 6 = 36\)
(principe multiplicatif). L'événement \(A\) « somme \(= 7\) » est
\(\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}\), donc \(\lvert A \rvert = 6\). D'où
\[ P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}. \]
Ce qui manque encore
Ici, \(\lvert A \rvert\) se comptait à la main. Pour des événements plus riches — « une main de \(5\)
cartes contient exactement deux as », « \(3\) personnes tirées parmi \(20\) » — il faut des outils de
comptage dédiés : les arrangements et les combinaisons, objet du
chapitre suivant, Le dénombrement.
Exercices
🧭 Intuition / stratégie
Prérequis mobilisés :
les quatre opérations \(\cup, \cap, \overline{\;}, \setminus\) et leur lecture sur un diagramme ;
la preuve d'une égalité d'ensembles par double inclusion ;
le principe d'addition et le crible ; le principe multiplicatif ;
le pont \(P(A) = \dfrac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}\) en modèle équiprobable.
Intuition : pour un calcul d'ensembles, dessine le diagramme et colorie ; pour une
égalité, raisonne sur un élément générique \(x\). Pour un comptage, demande-toi « ou ou
et ? » — des cas qui s'excluent : on additionne ; des étapes successives : on multiplie —
et devant « au moins un », pense au contraire « aucun ».
Exercice 1 — Calculer avec les opérations
On prend \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\), \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\) (les pairs) et
\(B = \{3, 6, 9\}\) (les multiples de \(3\)). Déterminer, en extension :
\(A \cup B\), \(A \cap B\), \(\overline{A}\), \(A \setminus B\), puis vérifier sur cet exemple que
\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\).
💭 À toi
Quels éléments sont « dans \(A\) ou dans \(B\) » ? « dans les deux » ?
\(\overline{A}\), c'est « les éléments de \(\Omega\) qui ne sont pas pairs » — lesquels ?
Pour la vérification De Morgan, calcule séparément les deux membres et compare les listes.
Voir la solution
On lit directement :
\[ A \cup B = \{2,3,4,6,8,9,10\}, \qquad A \cap B = \{6\}, \]
\[ \overline{A} = \{1,3,5,7,9\}, \qquad A \setminus B = \{2,4,8,10\}. \]
Vérification de De Morgan. D'une part \(\overline{A \cup B}\) est le complémentaire de
\(\{2,3,4,6,8,9,10\}\), soit \(\{1,5,7\}\). D'autre part
\(\overline{A} = \{1,3,5,7,9\}\) et \(\overline{B} = \{1,2,4,5,7,8,10\}\), donc
\(\overline{A} \cap \overline{B} = \{1,5,7\}\). Les deux résultats coïncident :
\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{1,5,7\}\).
∎
Exercice 2 — Une égalité à démontrer
Montrer que, pour toutes parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble \(\Omega\),
\[ A \setminus B = A \cap \overline{B}. \]
💭 Comment s'y prendre
Ici on prouve une égalité pour toutes parties : le diagramme aide à y croire, mais ne
démontre pas. Quelle méthode faut-il ?
Traduis « \(x \in A \setminus B\) » avec des mots (« dans \(A\) et… »), puis « \(x \in A \cap
\overline{B}\) » de même. Que remarques-tu ?
Voir un coup de pouce
Raisonne sur un élément générique par équivalences. « \(x \notin B\) » est exactement
« \(x \in \overline{B}\) » : les deux définitions vont se superposer mot pour mot.
Voir la solution
Soit \(x \in \Omega\). Par définition de la différence,
\[ x \in A \setminus B \iff \bigl(x \in A \ \text{ et } \ x \notin B\bigr). \]
Or « \(x \notin B\) » signifie précisément \(x \in \overline{B}\). La condition devient donc
\(\bigl(x \in A \ \text{ et } \ x \in \overline{B}\bigr)\), c'est-à-dire, par définition de
l'intersection, \(x \in A \cap \overline{B}\). On a établi
\[ x \in A \setminus B \iff x \in A \cap \overline{B} \]
pour tout \(x\) : les deux ensembles ont les mêmes éléments, donc
\(A \setminus B = A \cap \overline{B}\).
∎
Exercice 3 — Choix successifs, puis probabilité
Un cadenas a un code de \(3\) chiffres (chacun de \(0\) à \(9\), répétitions autorisées).
Combien de codes différents existe-t-il ?
On choisit un code au hasard, tous équiprobables. Quelle est la probabilité que les trois
chiffres soient identiques (\(000\), \(111\), …) ?
💭 À toi
Un code se construit en combien de choix successifs ? Combien de possibilités à chaque étape ?
Pour « trois chiffres identiques », une fois le premier chiffre fixé, reste-t-il un choix ?
Voir la solution
1. Un code est un triplet \((c_1, c_2, c_3)\) avec chaque \(c_i \in \{0,\dots,9\}\) : trois choix
successifs parmi \(10\). Par le principe multiplicatif, il y a \(10 \times 10 \times 10 = 10^3 =
1\,000\) codes. Autrement dit \(\Omega = \{0,\dots,9\}^3\) avec \(\lvert \Omega \rvert = 1\,000\).
2. Soit \(A\) « les trois chiffres sont identiques ». Un tel code est déterminé par son unique
chiffre commun : il y a \(10\) codes de ce type (\(000, 111, \dots, 999\)), donc
\(\lvert A \rvert = 10\). Le modèle étant équiprobable,
\[ P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert} = \frac{10}{1\,000} = \frac{1}{100} = 0{,}01. \]
∎
Exercice 4 — Crible et complémentaire (cardinaux)
Dans un groupe de \(30\) étudiants, \(18\) étudient l'anglais, \(15\) l'espagnol, et \(7\) étudient les
deux langues.
Combien étudient au moins une des deux langues ?
Combien n'en étudient aucune ?
💭 À toi
« Au moins une » correspond à quelle opération sur les ensembles \(A\) (anglais) et
\(E\) (espagnol) ? Peut-on additionner \(18 + 15\) sans précaution ?
« Aucune » se relie-t-il à « au moins une » par un complémentaire ?
Voir un coup de pouce
« Au moins une » \(= A \cup E\) : applique le crible. « Aucune » est le complémentaire dans le
groupe des \(30\), donc \(30 - \lvert A \cup E \rvert\).
Voir la solution
Notons \(A\) l'ensemble des étudiants d'anglais et \(E\) celui d'espagnol, avec
\(\lvert A \rvert = 18\), \(\lvert E \rvert = 15\), \(\lvert A \cap E \rvert = 7\).
1. « Au moins une langue » \(= A \cup E\). Par le crible,
\[ \lvert A \cup E \rvert = \lvert A \rvert + \lvert E \rvert - \lvert A \cap E \rvert = 18 + 15 - 7 = 26. \]
Additionner \(18 + 15 = 33\) aurait compté deux fois les \(7\) étudiants bilingues : le crible
corrige ce double comptage.
2. « Aucune langue » est le complémentaire de \(A \cup E\) dans le groupe de \(30\) :
\[ 30 - \lvert A \cup E \rvert = 30 - 26 = 4. \]
Quatre étudiants n'étudient aucune des deux langues.
∎
🔗 Ponts vers la suite
Probabilités. Univers \(=\) ensemble ; événement \(=\) partie ; « ou », « et »,
« non » \(\to\) réunion, intersection, complémentaire ; incompatibles \(=\) disjoints ; système
complet d'événements \(=\) partition ; univers d'une expérience double \(=\) produit cartésien. Et
en modèle équiprobable, \(P(A) = \dfrac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}\) : calculer, c'est
dénombrer.
Maths (à venir). Le chapitre Le dénombrement déclinera le principe
multiplicatif en modèles de tirage — \(p\)-listes, arrangements, permutations, combinaisons
\(\binom{n}{p}\) — pour compter \(\lvert A \rvert\) dans des situations plus riches.
Physique. En physique statistique, on compte les micro-états d'un
système (principe multiplicatif), et l'entropie de Boltzmann vaut \(S = k \ln \Omega\).
Sciences de l'ingénieur. Les opérations \(\cup, \cap,\) complémentaire forment
une algèbre de Boole — les portes logiques OU, ET, NON — où De Morgan devient une
transformation de circuits ; et \(\lvert \{0,1\}^n \rvert = 2^n\) est le nombre d'adresses codables
sur \(n\) bits.
🧵 Fil rouge du chapitre
En probabilités, tout objet est un ensemble et toute phrase sur le hasard est une opération
ensembliste : maîtriser \(\cup\), \(\cap\), le complémentaire et \(\setminus\), et les
voir sur un diagramme de Venn, c'est déjà parler le langage du hasard. Et pour le
quantifier, tout revient à compter : additionner pour un « ou » de cas disjoints,
multiplier pour un « et » de choix successifs — puisque
\(P(A) = \dfrac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}\) n'est qu'un rapport de deux dénombrements.