Expérience aléatoire, univers, événements — les fondations ensemblistes
🧵 Fil rouge du chapitre
Toute la théorie des probabilités repose sur une traduction : le langage courant
du hasard (« ou », « et », « ne pas », « au moins un », « implique ») devient le langage exact des
ensembles (\(\cup\), \(\cap\), complémentaire, \(\subset\)). Poser un problème de probabilité,
c'est d'abord choisir un univers \(\Omega\), puis écrire proprement les événements en jeu. Le
calcul ne vient qu'après — et il ne peut être juste que si la traduction l'était.
Avant de calculer la moindre probabilité, il faut savoir de quoi l'on parle. La démarche
rigoureuse — celle de Kolmogorov — se fait en deux temps que nous respecterons scrupuleusement :
d'abord planter le décor (les résultats possibles d'une expérience et les
« questions » que l'on peut poser dessus : ce sont les événements) ; ensuite seulement
mesurer ces événements par un nombre entre 0 et 1 (la probabilité \(P\), au
chapitre suivant). Ce chapitre est entièrement consacré au premier temps. Sa vraie difficulté n'est
pas technique : c'est d'apprendre à traduire le langage courant du hasard
(« ou », « et », « ne pas », « au moins un ») dans le langage précis des ensembles.
1. Expérience aléatoire
Lancez un dé : impossible de prédire la face qui sortira. Pourtant, vous savez à l'avance
quelles faces peuvent sortir — une parmi \(1,2,3,4,5,6\). C'est exactement cette tension
qui définit le hasard mathématique : imprévisibilité du résultat, mais
connaissance de l'ensemble des résultats possibles. Sans ce second point, il n'y
aurait rien à étudier.
Définition — Expérience aléatoire
On appelle expérience aléatoire une expérience qui, répétée dans des conditions
identiques, peut donner des résultats différents, sans que l'on puisse prévoir avec certitude
lequel se produira, mais dont l'ensemble des résultats possibles est connu à l'avance.
L'expérience aléatoire est donc un protocole — le geste que l'on réalise —,
distinct de son résultat, qui n'est connu qu'une fois l'expérience faite.
Exemples
Lancer un dé à six faces et lire le résultat.
Lancer une pièce de monnaie : pile ou face.
Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes.
Lancer deux fois une pièce et noter la suite obtenue.
Mesurer la durée de vie (en heures) d'un composant électronique — ici l'ensemble des
résultats possibles est un intervalle, donc infini non dénombrable : un cas plus
délicat sur lequel nous reviendrons.
Encore faut-il que cette liste des résultats possibles soit complète. Un dé peut
rester en équilibre sur une arête, sortir de la table, ou devenir illisible : la liste
\(\{1,2,3,4,5,6\}\) omet alors des résultats réellement observables. Deux réponses honnêtes :
soit on déclare qu'on recommence ces lancers (on les exclut par convention),
soit on ajoute les résultats correspondants. Décrire l'ensemble des résultats
possibles, ce n'est pas seulement l'énumérer : c'est s'assurer qu'on n'a rien oublié.
2. Univers et issues
Définition — Issue, univers
Un résultat possible de l'expérience s'appelle une issue (ou
résultat élémentaire, ou éventualité) ; on le note généralement \(\omega\).
L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers (ou espace fondamental, ou espace d'échantillonnage) de
l'expérience ; on le note \(\Omega\). Ainsi \(\omega \in \Omega\).
Exemples
Dé à six faces : \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\).
Pièce de monnaie : \(\Omega = \{P,\,F\}\).
Deux lancers d'une pièce : \(\Omega = \{PP,\,PF,\,FP,\,FF\}\).
Durée de vie d'un composant : \(\Omega = [0,\,+\infty[\).
Le choix de \(\Omega\) n'est pas imposé par la nature : il fait partie de la
modélisation. Pour deux lancers d'une pièce, si l'on s'intéresse seulement au
nombre de « pile », on peut prendre \(\Omega = \{0,1,2\}\) ; si l'on veut garder l'ordre,
\(\Omega = \{PP,PF,FP,FF\}\). Un problème bien posé commence toujours par : « je choisis pour
univers… ».
Ce qui est « élémentaire » dépend de l'observation
Une issue est un résultat élémentaire — mais « élémentaire » n'a de sens que par rapport à
ce qu'on décide d'observer. Si, au lieu de lire la face du dé, on ne note que
« pair » ou « impair », ces deux réponses deviennent les issues d'une expérience décrite autrement,
d'univers \(\Omega = \{\text{pair}, \text{impair}\}\). Un même geste physique peut donc avoir des
univers différents selon la granularité de l'observation : on annonce d'abord ce
qu'on observe, puis on énumère \(\Omega\).
Corollaire : un résultat hors de \(\Omega\) n'est pas une issue. Pour le dé à six faces, \(7\) n'est
pas une issue, puisque \(7 \notin \{1,2,3,4,5,6\}\).
Trois types d'univers
Fini : \(\Omega\) a un nombre fini d'issues (dé, cartes).
Infini dénombrable : on peut numéroter les issues \(\omega_0,\omega_1,\dots\)
(ex. « lancer une pièce jusqu'au premier pile » : le rang du premier succès peut être
\(1,2,3,\dots\)).
Infini non dénombrable : \(\Omega\) est un intervalle (durée de vie).
Ce cours construit tout proprement dans le cas fini ou dénombrable ; le cas
continu réclame un outil supplémentaire, annoncé au §3.
3. Événements
Une fois l'expérience faite, on obtient une issue \(\omega\). Un événement, c'est
une question à laquelle on peut répondre par oui ou non dès que \(\omega\) est connue :
« le résultat est-il pair ? », « a-t-on tiré un cœur ? ». À chaque telle question correspond
exactement l'ensemble des issues qui répondent « oui ». Un événement est donc un
sous-ensemble de \(\Omega\) — rien de plus.
Définition — Événement
Un événement est une partie (un sous-ensemble) de l'univers \(\Omega\). On dit que
l'événement \(A\) est réalisé lorsque l'issue \(\omega\) obtenue lui appartient,
c'est-à-dire lorsque \(\omega \in A\).
Ne confondez pas une issue \(\omega\) et l'événement élémentaire
correspondant \(\{\omega\}\) : \(\omega\) est un élément de \(\Omega\), tandis que \(\{\omega\}\)
est une partie de \(\Omega\) (donc un événement). On écrit \(\omega \in \Omega\) mais
\(\{\omega\} \subset \Omega\).
Définition — Événements particuliers
Événement élémentaire : un singleton \(\{\omega\}\) (une seule issue le
réalise).
Événement certain : \(\Omega\) lui-même (toujours réalisé, quelle que soit
l'issue).
Événement impossible : l'ensemble vide \(\varnothing\) (jamais réalisé).
Exemple — dé à six faces
Avec \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) :
« obtenir un nombre pair » est l'événement \(A=\{2,4,6\}\) ;
« obtenir un multiple de 3 » est \(B=\{3,6\}\) ;
« obtenir un 4 » est l'événement élémentaire \(\{4\}\) ;
« obtenir un nombre \(\leqslant 6\) » est l'événement certain \(\Omega\) ;
« obtenir un 7 » est l'événement impossible \(\varnothing\).
🔬 Pour être tout à fait rigoureux : la notion de tribu
Nous avons dit « un événement est une partie de \(\Omega\) ». Dans le cas fini ou dénombrable,
on prend effectivement toutes les parties : l'ensemble des événements est
\(\mathcal{P}(\Omega)\), l'ensemble des sous-ensembles de \(\Omega\). Mais lorsque \(\Omega\) est
infini non dénombrable (par exemple \([0,1]\)), on démontre qu'il est impossible
d'attribuer une probabilité cohérente à toutes les parties à la fois. On est alors obligé de
se restreindre à une famille \(\mathcal{A}\) de parties « raisonnables », appelée
tribu (ou \(\sigma\)-algèbre) : une famille contenant \(\Omega\), stable par
passage au complémentaire et par réunion dénombrable.
L'objet rigoureux est donc le couple \((\Omega,\mathcal{A})\), un espace
probabilisable, et « événement » signifie précisément « élément de \(\mathcal{A}\) ».
Bonne nouvelle : dans tout ce cours (\(\Omega\) fini ou dénombrable) on prend
\(\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)\), et l'on retrouve exactement « événement = partie de
\(\Omega\) ». Aucune des définitions qui suivent n'est affectée.
4. Le dictionnaire : opérations sur les événements
Puisqu'un événement est un ensemble, les mots du langage courant — « et », « ou », « ne pas… » —
deviennent des opérations ensemblistes. Ce petit dictionnaire est le cœur du vocabulaire : le
maîtriser, c'est savoir écrire proprement n'importe quel énoncé de probabilité.
Écriture ensembliste
Langage des événements
Réalisé lorsque…
\(A \cup B\)
« \(A\) ou \(B\) »
au moins l'un des deux est réalisé
\(A \cap B\)
« \(A\) et \(B\) »
les deux sont réalisés en même temps
\(\overline{A}\) (ou \(A^{c}\))
événement contraire : « non \(A\) »
\(A\) n'est pas réalisé
\(A \subset B\)
« \(A\) implique \(B\) »
dès que \(A\) est réalisé, \(B\) l'est aussi
\(A \cap B = \varnothing\)
\(A\) et \(B\) incompatibles
ils ne peuvent être réalisés ensemble
\(\varnothing\)
événement impossible
jamais
\(\Omega\)
événement certain
toujours
Définition — Événements incompatibles
Deux événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles (ou disjoints)
lorsque \(A \cap B = \varnothing\) : aucune issue ne réalise les deux à la fois.
Contraire \(\neq\) incompatible. Le contraire \(\overline{A}\) contient
toutes les issues hors de \(A\) : \(A\) et \(\overline{A}\) sont à la fois incompatibles
et exhaustifs (leur réunion est \(\Omega\)). Deux événements seulement
incompatibles, eux, ne se rencontrent pas mais ne recouvrent pas forcément \(\Omega\).
Ainsi, sur le dé, \(\{2\}\) et \(\{4\}\) sont incompatibles sans être contraires (leur réunion n'est
pas \(\Omega\)) ; en revanche \(\{2,4,6\}\) et \(\{1,3,5\}\) sont incompatibles et contraires.
Incompatibles \(\neq\) indépendants. « Incompatibles » est une propriété
ensembliste (les deux événements ne se rencontrent pas) qui se lit sur \(\Omega\) seul.
« Indépendants » sera une propriété probabiliste (la réalisation de l'un ne change rien à
la probabilité de l'autre), qui n'a de sens qu'une fois \(P\) introduite. Ce sont deux notions sans
rapport — on verra même qu'elles sont presque contradictoires. Ne les mélangez jamais.
Exemple — dé à six faces
Avec \(A=\{2,4,6\}\) (pair) et \(B=\{3,6\}\) (multiple de 3) :
\(A \cup B = \{2,3,4,6\}\) (« pair ou multiple de 3 ») ;
\(A \cap B = \{6\}\) (« pair et multiple de 3 ») ;
\(\overline{A} = \{1,3,5\}\) (« impair ») ;
\(A\) et \(\{1,3,5\}\) sont incompatibles, car \(A \cap \{1,3,5\} = \varnothing\).
Proposition — Lois de De Morgan pour les événements démontré
Pour tous événements \(A\) et \(B\) :
\[ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}
\qquad\text{et}\qquad
\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}. \]
En mots : « ne pas (\(A\) ou \(B\)) » équivaut à « (non \(A\)) et (non \(B\)) », et symétriquement.
Démonstration.
Montrons la première égalité par équivalences logiques, en revenant à la définition d'un ensemble
par ses éléments. Soit \(\omega \in \Omega\). L'issue \(\omega\) réalise \(\overline{A \cup B}\)
si et seulement si elle ne réalise pas \(A \cup B\), c'est-à-dire si elle n'appartient ni à \(A\)
ni à \(B\). Or « \(\omega \notin A\) » signifie \(\omega \in \overline{A}\), et de même
« \(\omega \notin B\) » signifie \(\omega \in \overline{B}\). Ainsi
\(\omega \in \overline{A \cup B}\) équivaut à \(\bigl(\omega \in \overline{A}\ \text{et}\
\omega \in \overline{B}\bigr)\), soit \(\omega \in \overline{A} \cap \overline{B}\). Les deux
ensembles \(\overline{A \cup B}\) et \(\overline{A} \cap \overline{B}\) ont donc exactement les
mêmes éléments : ils sont égaux. La seconde égalité s'obtient de la même manière — ou en appliquant
la première aux événements \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\), puis en passant au complémentaire
et en utilisant \(\overline{\overline{A}} = A\).
∎
5. Système complet d'événements
Un réflexe puissant consiste à découper l'univers en morceaux qui ne se
chevauchent pas et qui, mis bout à bout, recouvrent tout \(\Omega\) — comme trier chaque issue
dans une case et une seule. Ce découpage porte un nom, et c'est lui qui servira de charpente à la
future « formule des probabilités totales ».
Définition — Système complet d'événements
Une famille d'événements \((A_1, A_2, \dots, A_n)\) est un système complet
d'événements (SCE), ou une partition de \(\Omega\), lorsque :
ils sont deux à deux incompatibles : \(A_i \cap A_j = \varnothing\) dès que
\(i \neq j\) ;
leur réunion est l'univers tout entier : \(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega\) ;
(souvent on impose de plus \(A_i \neq \varnothing\) pour tout \(i\)).
Autrement dit : à chaque issue \(\omega\) correspond un et un seul indice \(i\)
tel que \(\omega \in A_i\). La définition s'étend telle quelle à une famille dénombrable
\((A_i)_{i \in \mathbb{N}}\).
Exemples
Le plus simple et le plus utile : \((A,\ \overline{A})\) est un SCE, pour tout événement
\(A\) (avec \(A \neq \varnothing\) et \(A \neq \Omega\)).
Dé à six faces : \(\bigl(\{1,2\},\,\{3,4\},\,\{5,6\}\bigr)\) est un SCE.
Les événements élémentaires \(\bigl(\{\omega\}\bigr)_{\omega \in \Omega}\) forment toujours un
SCE de \(\Omega\).
Exercices
🧭 Intuition / stratégie
Prérequis mobilisés :
écrire l'univers \(\Omega\) d'une expérience (choix de modélisation) ;
traduire un énoncé en français en une partie de \(\Omega\) (le dictionnaire du §4) ;
passage au complémentaire, réunion, intersection.
Intuition : devant « écrire tel événement », commencez toujours par fixer
ce qu'est une issue. Ensuite, si un événement est pénible à décrire directement
(« au moins un… »), regardez son contraire : c'est souvent lui qui est simple.
Exercice 1 — Modéliser et traduire
On lance deux dés équilibrés discernables (un rouge, un bleu) et l'on note les deux
résultats. Décrire un univers \(\Omega\) adapté, puis écrire comme parties de \(\Omega\) les
événements suivants :
\(A\) : « la somme des deux dés vaut \(7\) » ;
\(B\) : « on obtient au moins un \(6\) » ;
\(C\) : « les deux dés affichent le même chiffre ».
Exprimer enfin \(B\) à l'aide d'un événement contraire.
💭 À toi
Ici, qu'est-ce qu'une issue : un seul chiffre, ou bien un couple de chiffres ?
Pourquoi les dés « discernables » comptent-ils ?
Combien y a-t-il d'issues en tout ?
Pour « au moins un \(6\) » : est-ce plus commode à décrire tel quel, ou en pensant à ce qui
se passe quand on n'a aucun \(6\) ?
Voir un coup de pouce
Une issue est un couple \(\omega = (i,j)\), où \(i\) est le dé rouge et \(j\) le dé bleu.
L'événement contraire de « au moins un \(6\) » est « aucun \(6\) », c'est-à-dire « les deux dés
évitent le \(6\) » — un événement, lui, très facile à écrire.
Voir la solution
Une issue est un couple \((i,j)\) avec \(i\) le résultat du dé rouge et \(j\) celui du dé bleu,
chacun dans \(\{1,\dots,6\}\). On prend donc pour univers
\[ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^2 = \bigl\{(i,j)\ :\ 1 \leqslant i \leqslant 6,\ 1 \leqslant j \leqslant 6\bigr\}, \]
qui compte \(6 \times 6 = 36\) issues. Le caractère discernable des dés est précisément ce qui
justifie de retenir l'ordre dans le couple, et donc de distinguer par exemple
\((2,5)\) de \((5,2)\).
L'événement \(A\) rassemble les couples de somme \(7\) :
\[ A = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}. \]
L'événement \(C\) rassemble les couples aux deux composantes égales :
\[ C = \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}. \]
Pour \(B\), le plus simple est de passer par son contraire. « Aucun \(6\) » signifie que chaque
dé prend une valeur dans \(\{1,\dots,5\}\) ; c'est donc
\(\overline{B} = \{1,\dots,5\}^2\), qui compte \(5 \times 5 = 25\) issues. Par conséquent
\[ B = \overline{\,\overline{B}\,} = \overline{\{1,\dots,5\}^2}, \]
soit l'ensemble des couples dont au moins une composante vaut \(6\) ; il en reste
\(36 - 25 = 11\).
∎
Exercice 2 — Découper un événement
Soient \(A\) et \(B\) deux événements d'un même univers \(\Omega\). Montrer que
\[ A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}), \]
et que les deux événements \(A \cap B\) et \(A \cap \overline{B}\) sont incompatibles. Interpréter
le résultat dans le langage des événements.
💭 Comment s'y prendre
Quand \(A\) est réalisé, l'événement \(B\), lui, l'est-il ? Y a-t-il d'autres possibilités que
« \(B\) réalisé » et « \(B\) non réalisé » ?
Ces deux possibilités peuvent-elles se produire ensemble ?
Reconnais-tu, dans le couple « \(B\) réalisé / \(B\) non réalisé », une structure du §5 ?
Voir un coup de pouce
Le couple \((B,\overline{B})\) est un système complet d'événements. L'idée est de
couper \(A\) selon que \(B\) est réalisé ou non. Côté calcul, tout vient de la
distributivité de \(\cap\) sur \(\cup\) et de l'identité \(B \cup \overline{B} = \Omega\).
Voir la solution
Partons du membre de droite et utilisons la distributivité de l'intersection sur la réunion :
\[ (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = A \cap (B \cup \overline{B}). \]
Or un événement et son contraire recouvrent tout l'univers, \(B \cup \overline{B} = \Omega\),
et \(A \cap \Omega = A\). On obtient donc bien \((A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = A\).
Vérifions l'incompatibilité. En regroupant les intersections,
\[ (A \cap B) \cap (A \cap \overline{B}) = A \cap (B \cap \overline{B}) = A \cap \varnothing = \varnothing, \]
puisque \(B \cap \overline{B} = \varnothing\). Les deux morceaux sont donc bien incompatibles.
Interprétation : réaliser \(A\), c'est réaliser « \(A\) et \(B\) », ou bien « \(A\) et
non \(B\) », et ces deux cas s'excluent mutuellement. On a ainsi décomposé \(A\) le long
du système complet \((B,\overline{B})\). C'est exactement le mécanisme qui, une fois la
probabilité \(P\) disponible, donnera la formule des probabilités totales.
∎
🔗 Ponts vers la suite
Maths. Le chapitre suivant munit l'espace \((\Omega,\mathcal{A})\) d'une
probabilité \(P\) (axiomes de Kolmogorov). Le système complet d'événements du
§5 sera la clé de la formule des probabilités totales puis de la
formule de Bayes ; et lorsque \(\Omega\) est fini équiprobable, le
dénombrement permettra de calculer \(P(A)=\dfrac{\lvert A\rvert}{\lvert\Omega\rvert}\).
Physique. En physique statistique, les issues sont les
micro-états d'un système et les événements des macro-états : compter des configurations, c'est
déjà faire des probabilités. En mécanique quantique, la mesure d'une grandeur
est intrinsèquement aléatoire, et le vocabulaire des événements y est la base du formalisme.
Sciences de l'ingénieur. En sûreté de fonctionnement / fiabilité,
la défaillance d'un système se décrit avec ces opérations : composants en série \(\to\)
intersection d'événements de bon fonctionnement, composants en parallèle \(\to\) réunion. Les
arbres de défaillance ne sont rien d'autre que de l'algèbre d'événements.