Pour bien comprendre le rôle de \(\zeta(\alpha)\) dans cet exercice, consulter d'abord :
→ Nombres harmoniques — série harmonique, nombres harmoniques généralisés et fonction zêta
Énoncé. On fixe un réel \(\alpha > 0\).
On considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) définie par
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \qquad \mathbb{P}(X = n) = \frac{1}{\zeta(\alpha)} \cdot \frac{1}{(n+1)^\alpha} \]où l'on note
\[ \zeta(\alpha) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha} \]Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), la série de Riemann est la série \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha}\).
C'est une série à termes positifs dont la nature est entièrement déterminée par \(\alpha\) :
\[ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha > 1 \]Sa somme, quand elle existe, est notée \(\zeta(\alpha)\) (fonction zêta de Riemann).
On pose, pour \(n \in \mathbb{N}\) :
\[ p_n = \mathbb{P}(X = n) = \frac{1}{\zeta(\alpha)} \cdot \frac{1}{(n+1)^\alpha} \]Pour que \((p_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définisse une loi de probabilité sur \(\mathbb{N}\), il faut et suffit que :
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \((n+1)^\alpha > 0\). Donc, si \(\zeta(\alpha) > 0\) (ce qui est le cas dès que la série converge), on obtient \(p_n \geq 0\). ✓
On effectue le changement d'indice \(k = n + 1\) (quand \(n\) parcourt \(\mathbb{N}\), \(k\) parcourt \(\mathbb{N}^*\)) :
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} p_n = \frac{1}{\zeta(\alpha)} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^\alpha} = \frac{1}{\zeta(\alpha)} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha} = \frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(\alpha)} \]Ce calcul est licite si et seulement si \(\zeta(\alpha)\) est une somme finie non nulle.
La série \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha}\) est une série de Riemann, qui converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
On distingue deux cas :
\(\displaystyle\text{La formule définit une loi de probabilité} \iff \alpha > 1\)
On suppose désormais \(\alpha > 1\). Par définition, pour une variable discrète à valeurs dans \(\mathbb{N}\) :
\[ \mathbb{E}(X) \text{ existe} \iff \sum_{n=0}^{+\infty} n\,\mathbb{P}(X = n) \text{ converge} \]On cherche la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} n\,\mathbb{P}(X=n)\). On calcule le terme général :
\[ n\,\mathbb{P}(X = n) = \frac{n}{\zeta(\alpha)\,(n+1)^\alpha} \]Quand \(n \to +\infty\), on a l'équivalent :
\[ \frac{n}{(n+1)^\alpha} \sim \frac{n}{n^\alpha} = \frac{1}{n^{\alpha - 1}} \]La série \(\displaystyle\sum \frac{1}{n^{\alpha-1}}\) est une série de Riemann, qui converge si et seulement si \(\alpha - 1 > 1\), c'est-à-dire \(\alpha > 2\).
Par comparaison de séries à termes positifs via les équivalents, la série \(\displaystyle\sum n\,\mathbb{P}(X=n)\) converge si et seulement si \(\alpha > 2\).
\(\mathbb{E}(X) \text{ existe} \iff \alpha > 2\)
Supposons \(\alpha > 2\). Toutes les séries manipulées ci-dessous convergent absolument, et les réarrangements sont licites.
Le problème. On veut calculer \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{(n+1)^\alpha}\). Le numérateur \(n\) est gênant : les séries de Riemann ont des numérateurs constants (\(1\), pas \(n\)). Il faut s'en débarrasser.
Pattern reconnu : écrire \(n\) comme une différence. On observe l'identité triviale :
\[ n = (n+1) - 1 \]Pourquoi cette écriture ? Parce que le dénominateur est \((n+1)^\alpha\). Si le numérateur contient \((n+1)\), il va "annuler" une puissance du dénominateur — exactement ce dont on a besoin pour retrouver une série de Riemann.
Application :
\[ \frac{n}{(n+1)^\alpha} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)^\alpha} = \frac{n+1}{(n+1)^\alpha} - \frac{1}{(n+1)^\alpha} = \frac{1}{(n+1)^{\alpha-1}} - \frac{1}{(n+1)^\alpha} \]On reconnaît maintenant deux termes de séries de Riemann — l'un d'exposant \(\alpha - 1\), l'autre d'exposant \(\alpha\).
En sommant de \(n = 0\) à \(+\infty\) et en effectuant le changement d'indice \(k = n+1\) :
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{(n+1)^\alpha} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^{\alpha-1}} - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^\alpha} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha-1}} - \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha} = \zeta(\alpha - 1) - \zeta(\alpha) \]Donc :
\[ \mathbb{E}(X) = \frac{1}{\zeta(\alpha)} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{(n+1)^\alpha} = \frac{1}{\zeta(\alpha)}\bigl(\zeta(\alpha - 1) - \zeta(\alpha)\bigr) = \frac{\zeta(\alpha - 1)}{\zeta(\alpha)} - 1 \]Pour \(\alpha > 2\) : \(\quad \mathbb{E}(X) = \dfrac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha)} - 1\)
Pour \(\alpha = 4\) : \(\zeta(3) \approx 1{,}202\) et \(\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90} \approx 1{,}082\), donc \(\mathbb{E}(X) \approx \dfrac{1{,}202}{1{,}082} - 1 \approx 0{,}111 > 0\). ✓ L'espérance est bien un réel positif.
Soit \(X\) la variable aléatoire définie par \(\mathbb{P}(X = n) = \dfrac{1}{\zeta(\alpha)} \cdot \dfrac{1}{(n+1)^\alpha}\). Alors :
| Condition sur \(\alpha\) | Loi de proba ? | \(\mathbb{E}(X)\) existe ? | Valeur de \(\mathbb{E}(X)\) |
|---|---|---|---|
| \(0 < \alpha \leq 1\) | Non | — | — |
| \(1 < \alpha \leq 2\) | Oui | Non | — |
| \(\alpha > 2\) | Oui | Oui | \(\dfrac{\zeta(\alpha-1)}{\zeta(\alpha)} - 1\) |
La loi définie dans cet exercice est liée à la loi de Zipf, un phénomène observé dans de nombreux domaines :
La condition \(\alpha > 2\) pour l'existence de l'espérance traduit le fait que, pour des distributions très « plates » (\(1 < \alpha \leq 2\)), la moyenne n'est pas définie : les événements rares ont trop de poids.
Pour \(\alpha = 3\) :
En moyenne, \(X\) prend la valeur \(0{,}37\), ce qui est cohérent : \(X\) est concentré sur les petites valeurs (la probabilité décroît en \(1/(n+1)^3\)).
Cet exercice mobilise les outils suivants, à maîtriser en CPGE :
On suppose \(\alpha > 3\). Calculer la variance \(\text{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\).
Indication : montrer d'abord que \(\mathbb{E}(X^2)\) existe pour \(\alpha > 3\), puis utiliser la décomposition :
\[ \frac{n^2}{(n+1)^\alpha} = \frac{1}{(n+1)^{\alpha-2}} - \frac{2}{(n+1)^{\alpha-1}} + \frac{1}{(n+1)^\alpha} \]pour exprimer \(\mathbb{E}(X^2)\) en fonction de \(\zeta(\alpha-2)\), \(\zeta(\alpha-1)\) et \(\zeta(\alpha)\).