→ Exercice de concours CPGE — Loi zêta de Riemann
Il pose les bases nécessaires pour comprendre pourquoi \(\zeta(\alpha)\) apparaît comme constante de normalisation d'une loi de probabilité.
Ce rappel est indispensable pour comprendre les nombres harmoniques. On y répond à la question : quand une somme est-elle "partielle", et quand ne l'est-elle plus ?
Soit \((u_k)_{k \geq 1}\) une suite de nombres réels. La somme partielle d'ordre \(n\) est :
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + \cdots + u_n \]Le mot partielle signifie qu'on s'arrête à un rang \(n\) fixé — on n'a pris qu'une partie des termes. C'est toujours un nombre fini, bien défini.
L'ordre \(n\) désigne le rang du dernier terme — c'est l'indice supérieur de la somme. Ce n'est pas forcément le nombre de termes.
Dans ce cours, nos suites commencent à \(k = 1\), donc les deux coïncident toujours. Mais l'ordre \(n\) reste avant tout le rang jusqu'où on s'arrête.
Pour la suite \(u_k = \frac{1}{k}\), les premières sommes partielles sont :
\[ S_1 = 1 \qquad S_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \qquad S_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \qquad S_{10} \approx 2{,}93 \]Chacune est un nombre rationnel parfaitement défini. Il n'y a aucune ambiguïté.
On appelle série de terme général \(u_k\) la suite des sommes partielles \((S_n)\). On la note \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} u_k\).
La série converge si la suite \((S_n)\) a une limite finie \(\ell\) quand \(n \to +\infty\). On écrit alors :
\[ \sum_{k=1}^{+\infty} u_k = \lim_{n \to +\infty} S_n = \ell \]La série diverge si \((S_n)\) n'a pas de limite finie (elle tend vers \(+\infty\) ou oscille).
| Écriture | Nature | Résultat |
|---|---|---|
| \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) | Somme partielle | Toujours finie — nombre rationnel |
| \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\) | Série convergente | Limite finie \(= \dfrac{\pi^2}{6}\) |
| \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k}\) | Série divergente | Limite \(= +\infty\) |
Dans une série \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} u_k\), le terme général est la formule \(u_k\) — l'expression en fonction de \(k\), valable pour tout \(k\). C'est le "patron" dont les termes particuliers sont des instances.
| Objet | Exemple avec \(u_k = \frac{1}{k^2}\) |
|---|---|
| Terme général | \(\dfrac{1}{k^2}\) — formule valable pour tout \(k\) |
| Terme particulier \(k = 1\) | \(u_1 = 1\) |
| Terme particulier \(k = 5\) | \(u_5 = \dfrac{1}{25}\) |
Le mot "général" signifie que la formule s'applique à tous les rangs \(k\), sans distinction — à l'opposé de "particulier" (valable pour un \(k\) fixé).
| Comportement de \(u_k\) | Exemple | Conséquence sur \(\sum u_k\) |
|---|---|---|
| \(u_k \not\to 0\) | \(\dfrac{k}{k+1} \to 1\) | Diverge forcément |
| \(u_k \to 0\) lentement | \(\dfrac{1}{k}\) | Peut quand même diverger ! |
| \(u_k \to 0\) vite | \(\dfrac{1}{k^2}\) | Converge (mais à prouver) |
| \(u_k \to 0\) très vite | \(\dfrac{1}{2^k}\) | Converge (géométrique) |
La contraposée est l'outil pratique : si \(u_k \not\to 0\), la série diverge immédiatement.
Mais la réciproque est fausse : \(u_k \to 0\) n'implique pas que \(\sum u_k\) converge. La série harmonique \(\sum \frac{1}{k}\) en est l'exemple canonique — \(\frac{1}{k} \to 0\) et pourtant la série diverge.
Une somme partielle \(S_n\) est toujours finie : on additionne un nombre fini de termes.
Une série \(\sum_{k=1}^{+\infty} u_k\) peut être finie (convergente) ou infinie (divergente) : c'est le passage à la limite \(n \to +\infty\) qui peut poser problème.
Dans la suite de ce cours, \(\zeta(\alpha) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha}\) est la limite des sommes partielles \(H_{n,\alpha}\) — finie si et seulement si \(\alpha > 1\).
Le terme harmonique vient de l'acoustique. Quand une corde de guitare vibre, elle ne produit pas une seule fréquence, mais toute une famille de sons superposés.
Pour tout phénomène périodique :
\[ T = \frac{1}{f} \qquad \text{et} \qquad f = \frac{1}{T} \]où \(T\) est la période (en secondes) et \(f\) la fréquence (en Hz = cycles par seconde).
Exemple : le La de référence vibre à \(f = 440\) Hz, sa période est \(T = \dfrac{1}{440} \approx 0{,}0023\) s.
Si la fréquence fondamentale est \(f\), les harmoniques sont :
\[ f, \quad 2f, \quad 3f, \quad 4f, \quad \ldots \]Leurs périodes correspondantes sont :
\[ T, \quad \frac{T}{2}, \quad \frac{T}{3}, \quad \frac{T}{4}, \quad \ldots \]c'est-à-dire proportionnelles à :
\[ 1, \quad \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{4}, \quad \ldots \]C'est exactement cette suite que l'on additionne pour former les nombres harmoniques. Le nom vient de là.
Pour tout entier \(n \geq 1\), le \(n\)-ième nombre harmonique est :
\[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \]Par convention, \(H_0 = 0\).
| \(n\) | Calcul | Valeur exacte | Valeur approchée |
|---|---|---|---|
| 1 | \(1\) | \(1\) | \(1{,}000\) |
| 2 | \(1 + \frac{1}{2}\) | \(\frac{3}{2}\) | \(1{,}500\) |
| 3 | \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) | \(\frac{11}{6}\) | \(1{,}833\) |
| 4 | \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\) | \(\frac{25}{12}\) | \(2{,}083\) |
| 10 | — | \(\frac{7381}{2520}\) | \(2{,}929\) |
| 100 | — | — | \(5{,}187\) |
| 1 000 | — | — | \(7{,}485\) |
| 12 367 | — | — | \(\approx 10{,}000\) |
Il faut additionner plus de 12 000 termes pour dépasser 10. La suite croît, mais très lentement.
Pour \(n \geq 2\), \(H_n\) n'est jamais un entier. C'est le théorème de Kürschák : la somme \(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\) ne vaut jamais un entier dès \(n \geq 2\).
Intuition : pour \(n \geq 2\), il existe une puissance de 2 dans \(\{1, \ldots, n\}\) (disons \(2^m\)) dont la contribution au numérateur de \(H_n\) est impaire, tandis que tous les autres termes contribuent des numérateurs pairs — la somme ne peut donc pas être entière.
La preuve rigoureuse mobilise trois outils qui seront vus en cours d'arithmétique :
Ces trois outils (valuations \(p\)-adiques, postulat de Bertrand, arithmétique des entiers) seront introduits dans le chapitre Arithmétique.
La suite \((H_n)\) tend vers \(+\infty\) quand \(n \to +\infty\).
On regroupe les termes par paquets dont la somme dépasse \(\frac{1}{2}\) :
\[ H_n \geq 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}_{\geq \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}_{\geq \frac{1}{2}} + \cdots \]Chaque paquet de \(2^k\) termes vaut au moins \(\frac{1}{2}\). On peut former autant de paquets que l'on veut, donc \(H_n \to +\infty\).
□Avant de lire la proposition, clarifions deux mots du titre.
Développer, c'est réécrire une expression comme une somme de termes simples, du plus grand au plus petit. Tu connais déjà ce sens depuis le collège :
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]On a "développé" le produit en une somme de trois termes. En analyse, on développe de même une fonction complexe en une somme de termes simples — en général des puissances :
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]Chaque terme est plus simple que la fonction de départ, et plus petit que le précédent.
Le mot asymptotique (du grec : "qui ne se rejoint pas") désigne ce qui se passe quand \(n \to +\infty\).
Un développement asymptotique de \(f(n)\) est une somme ordonnée :
\[ f(n) = \underbrace{T_1(n)}_{\text{dominant}} + \underbrace{T_2(n)}_{\text{correction}} + \underbrace{T_3(n)}_{\text{fine}} + \cdots \]où chaque terme est négligeable devant le précédent quand \(n \to +\infty\). C'est une liste de corrections de précision croissante — on prend autant de termes qu'on veut selon la précision souhaitée.
| Terme | Valeur pour \(n = 1000\) | Rôle |
|---|---|---|
| \(\ln n\) | \(\ln 1000 \approx 6{,}908\) | Terme dominant |
| \(\gamma \approx 0{,}5772\) | \(0{,}577\) | Correction constante |
| \(\dfrac{1}{2n}\) | \(0{,}0005\) | Petite correction |
| \(\dfrac{1}{12n^2}\) | \(0{,}000\,000\,08\) | Correction infime |
Chaque terme est beaucoup plus petit que le précédent. Pour une approximation grossière, \(\ln n\) suffit. Pour mieux, on ajoute \(\gamma\). Et ainsi de suite.
| Type | Ce que c'est | Exemple |
|---|---|---|
| Exact | Égalité vraie pour tout \(x\) | \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) |
| Série entière | Égalité pour \(|x| < R\) | \(e^x = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}\) |
| Asymptotique | Approximation pour \(n\) grand | \(H_n \approx \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} + \cdots\) |
où \(\gamma \approx 0{,}5772\ldots\) est la constante d'Euler-Mascheroni, définie précisément comme la limite :
\[ \gamma = \lim_{n \to +\infty} \left( H_n - \ln n \right) \]En particulier, en ne gardant que le terme dominant : \(H_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \ln n\).
Dans le développement de \(H_n\), le terme \(O\!\left(\dfrac{1}{n^4}\right)\) est une notation de paresse maîtrisée. Il dit : "il reste d'autres termes après \(-\dfrac{1}{12n^2}\), je ne les écris pas tous, mais je garantis qu'ils sont tous aussi petits que \(\dfrac{1}{n^4}\) ou plus petits."
Formellement, \(f(n) = O\!\left(\dfrac{1}{n^4}\right)\) signifie qu'il existe une constante \(C > 0\) telle que :
\[ |f(n)| \leq \frac{C}{n^4} \quad \text{pour } n \text{ assez grand} \]Ce n'est donc pas "je ne sais pas ce qui reste" — c'est "ce qui reste est contrôlé et négligeable à cet ordre".
Dans le développement de \(H_n\), le reste \(R_n\) est défini par différence :
\[ R_n = H_n - \ln n - \gamma - \frac{1}{2n} + \frac{1}{12n^2} \]C'est un nombre qui dépend de \(n\) et change à chaque rang. On ne connaît pas sa forme explicite simple — c'est pourquoi on ne l'écrit pas et on se contente de garantir qu'il est \(O\!\left(\frac{1}{n^4}\right)\).
La question que pose le \(O\) est : à quelle vitesse \(R_n\) tend-il vers 0 ?
Pour vérifier que \(R_n = O\!\left(\frac{1}{n^4}\right)\), on calcule le rapport :
\[ \frac{R_n}{1/n^4} = n^4 \cdot R_n \]et on vérifie qu'il reste borné. Si \(R_n\) décroît au moins aussi vite que \(\frac{1}{n^4}\), ce rapport ne part pas à l'infini. ✓
Contre-exemple : si \(R_n\) ne décroissait que comme \(\frac{1}{n^2}\), alors \(\frac{R_n}{1/n^4} = n^2 \to +\infty\) — on ne pourrait pas écrire \(O\!\left(\frac{1}{n^4}\right)\), ce serait faux.
Chaque rectangle bleu a une largeur de 1 et commence exactement sur un entier. Sa hauteur est \(\frac{1}{k}\). La zone orange montre l'excès du premier rectangle au-dessus de la courbe.
Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(n \geq 1\) :
\[ H_{n,\alpha} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^\alpha} = 1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \cdots + \frac{1}{n^\alpha} \]Les nombres harmoniques classiques sont le cas particulier \(\alpha = 1\) : \(H_n = H_{n,1}\).
Une série de Riemann est toute série dont le terme général est de la forme \(\dfrac{1}{k^\alpha}\), ou lui est équivalent quand \(k \to +\infty\). C'est une famille paramétrée par \(\alpha\) — une série différente pour chaque valeur de \(\alpha\), mais toutes avec la même structure.
Le pattern à repérer :
\[ u_k \sim \frac{C}{k^\alpha} \quad (k \to +\infty) \quad \text{avec } C > 0 \]Si le terme général est équivalent à \(\frac{C}{k^\alpha}\), la série a la même nature que la série de Riemann d'exposant \(\alpha\).
| Ce qu'on voit | Ce que c'est | Converge ? |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{k^2}\) | Riemann \(\alpha = 2\), exactement | Oui |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\) | Riemann \(\alpha = \frac{1}{2}\), exactement | Non |
| \(\dfrac{3}{k^4}\) | \(3 \times\) Riemann \(\alpha = 4\) | Oui |
| \(\dfrac{1}{k^2 + k}\) | \(\sim \dfrac{1}{k^2}\) — Riemann \(\alpha = 2\) | Oui |
| \(\dfrac{n}{(n+1)^\alpha}\) | \(\sim \dfrac{1}{n^{\alpha-1}}\) — Riemann \(\alpha - 1\) | Oui si \(\alpha > 2\) |
Ce dernier cas est exactement celui de notre exercice sur la loi zêta.
| \(\alpha\) | Les premiers termes | La série \(\sum \frac{1}{k^\alpha}\) converge ? |
|---|---|---|
| \(\alpha = \frac{1}{2}\) | \(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots\) | Non (diverge) |
| \(\alpha = 1\) | \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots\) | Non — série harmonique |
| \(\alpha = 2\) | \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots\) | Oui → \(\dfrac{\pi^2}{6}\) |
| \(\alpha = 3\) | \(1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{64} + \cdots\) | Oui → \(\zeta(3) \approx 1{,}202\) |
| \(\alpha = 4\) | \(1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{81} + \cdots\) | Oui → \(\dfrac{\pi^4}{90}\) |
La série \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).
Prérequis utilisés et leur niveau :
| Outil | Niveau |
|---|---|
| \(\frac{1}{x^\alpha}\) est décroissante pour \(\alpha > 0\) | Lycée |
| Encadrer une intégrale par des rectangles | Début Math Sup |
| Primitive de \(x^{-\alpha}\) : \(\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\) | Lycée |
| \(n^{1-\alpha} \to 0\) si \(\alpha > 1\), \(\to +\infty\) si \(\alpha < 1\) | Lycée |
Point de départ. Sur chaque intervalle \([k, k+1]\), la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x^\alpha}\) est décroissante. Sa valeur maximale est au bord gauche \(\frac{1}{k^\alpha}\), sa valeur minimale au bord droit \(\frac{1}{(k+1)^\alpha}\). On en déduit l'encadrement de l'intégrale par deux rectangles de largeur 1 :
\[ \underbrace{\frac{1}{(k+1)^\alpha}}_{\text{rectangle droit}} \;\leq\; \int_k^{k+1} \frac{1}{x^\alpha}\,dx \;\leq\; \underbrace{\frac{1}{k^\alpha}}_{\text{rectangle gauche}} \]Étape 1 — Sommation de \(k=1\) à \(n-1\).
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)^\alpha} \leq \int_1^n \frac{1}{x^\alpha}\,dx \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^\alpha} \] Le membre de gauche se réindexe avec \(j = k+1\) : \(\displaystyle\sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j^\alpha} = H_{n,\alpha} - 1\). Le membre de droite vaut \(H_{n,\alpha} - \frac{1}{n^\alpha}\). D'où : \[ H_{n,\alpha} - 1 \;\leq\; \int_1^n \frac{1}{x^\alpha}\,dx \;\leq\; H_{n,\alpha} - \frac{1}{n^\alpha} \]Étape 2 — Calcul de l'intégrale (primitive de \(x^{-\alpha}\) = \(\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\), valable pour \(\alpha \neq 1\)) :
\[ \int_1^n \frac{1}{x^\alpha}\,dx = \left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^n = \frac{n^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha} \]Étape 3 — Comportement selon \(\alpha\) quand \(n \to +\infty\).
Conclusion : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha}\) converge \(\iff \alpha > 1\).
□Pour \(\alpha > 1\), la fonction zêta de Riemann est la limite des nombres harmoniques généralisés :
\[ \zeta(\alpha) = \lim_{n \to +\infty} H_{n,\alpha} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha} \]C'est simplement la valeur exacte vers laquelle la somme \(1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \cdots\) converge.
Euler a calculé les valeurs de \(\zeta\) aux entiers pairs. Les entiers impairs restent en grande partie mystérieux.
| \(\alpha\) | Valeur exacte | Valeur approchée | Statut |
|---|---|---|---|
| \(\alpha = 1\) | \(+\infty\) | — | Série harmonique — diverge |
| \(\alpha = 2\) | \(\dfrac{\pi^2}{6}\) | \(1{,}6449\ldots\) | Problème de Bâle — Euler (1734) |
| \(\alpha = 3\) | \(\zeta(3)\) | \(1{,}2021\ldots\) | Constante d'Apéry — irrationnel (1978) |
| \(\alpha = 4\) | \(\dfrac{\pi^4}{90}\) | \(1{,}0823\ldots\) | Euler |
| \(\alpha = 6\) | \(\dfrac{\pi^6}{945}\) | \(1{,}0173\ldots\) | Euler |
On sait depuis Euler que \(\zeta(2k) = r_k \cdot \pi^{2k}\) pour tout entier \(k \geq 1\), où \(r_k\) est un rationnel. En revanche, la nature arithmétique de \(\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \ldots\) (entiers impairs \(\geq 3\)) reste largement mystérieuse. Seul \(\zeta(3)\) est prouvé irrationnel.
Avant de voir pourquoi \(\zeta(\alpha)\) apparaît, il faut comprendre ce problème général.
On dispose de poids \((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) positifs dont on veut faire des probabilités. Pour que \(\displaystyle\sum_{n} p_n = 1\), on divise chaque poids par leur somme totale \(S = \displaystyle\sum_{n} w_n\) :
\[ p_n = \frac{w_n}{S} \]Le nombre \(S\) est appelé constante de normalisation. Il n'a pas de signification probabiliste propre — c'est uniquement le facteur correctif qui force la somme à valoir 1.
Ce procédé n'est possible que si \(S\) est fini et non nul.
Supposons trois événements avec les poids \(w_0 = 3\), \(w_1 = 1\), \(w_2 = 2\).
La somme totale est \(S = 3 + 1 + 2 = 6\). On normalise :
\[ p_0 = \frac{3}{6} = 0{,}5 \qquad p_1 = \frac{1}{6} \approx 0{,}17 \qquad p_2 = \frac{2}{6} \approx 0{,}33 \]Vérification : \(0{,}5 + 0{,}17 + 0{,}33 = 1\) ✓
Les proportions relatives entre les événements sont conservées : \(p_0\) est toujours 3 fois plus grande que \(p_1\). Seule la somme totale a changé.
Dans l'exercice, on définit \(\mathbb{P}(X = n) = \dfrac{1}{\zeta(\alpha)} \cdot \dfrac{1}{(n+1)^\alpha}\).
Le facteur \(\dfrac{1}{\zeta(\alpha)}\) est la constante de normalisation : il garantit que la somme de toutes les probabilités vaut 1.
En effet, avec le changement d'indice \(k = n+1\) :
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X = n) = \frac{1}{\zeta(\alpha)} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^\alpha} = \frac{1}{\zeta(\alpha)} \underbrace{\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha}}_{= \,\zeta(\alpha)} = 1 \checkmark \]Ceci n'est possible que si \(\zeta(\alpha)\) est finie, c'est-à-dire si \(\alpha > 1\).
✓ Prérequis acquis — retourner à l'exercice : Loi zêta de Riemann — Exercice CPGE →